Сфероидальный и эллиптический анализ некоторых квантовых систем со скрытой симметрией

• Автор: Мардоян, Левон Гришович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 113 c. : ил

ГЛАВА I. СФЕРОИДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АТОМА ВОДОРОДА

§1. Сфероидальный базис

§2. Скрытая симметрия и ортогональность по орбитальному моменту «

§3. Разложение сфероидального базиса по сферическому

и параболическому базисам

§4. Сфероидальный интеграл движения, матричная формулировка и теория возмущений

ГЛАВА 24 ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ БАЗИС ДВУМЕРНОГО АТОМА ВОДОРОДА .

§5. Эллиптические координаты

§6. Разделение переменных

§7. Эллиптический базис

§8. Ортогональность •••••

§9. Предел £—*0
§10. Предел £ —► «х=>
ГЛАВА 3. МЕЖБАЗИСНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ДВУМЕРНОМ АТОМЕ ВОДОРОДА . 48 §114 Разложение эллиптического базиса по полярному •
§12. Разложение эллиптического базиса по параболическому
§13. Эллиптический интеграл движения и матричная
формулировка
§14. Теория возмущений
• ГЛАВА 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ‘КРУГОВОГО;ОСЦИЛЛЯТОРА
§15. Эллиптический базис
§16. Межбазисные разложения в круговом осцилляторе • •

§17. Эллиптический интеграл движения и матричная
формулировка
§18. Теория возмущений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
§А. Некоторые формулы из теории специальных функций
и квантовой теории углового момента 81 §Б. Базисы атома водорода, двумерного атома водорода
и кругового осциллятора
§В. Нормировочные постоянные
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

В течение последних нескольких десятилетий значительно возрос интерес теоретиков к симметрийным схемам исследования физических объектов и взаимодействий. Сказанное относится как к квантовой теории поля [1-з] , единой теории электроелабых взаимодействий [4,5], квантовой хромо динамике [б-в], различным вариантам теории великого объединения [9-п] , так и к таким традиционным разделам квантовой механики, каковыми являются квантовая теория углового момента [12,13], и теория систем со случайно вырожденным энергетическим спектром [14-61]
В работе Шока [19] было установлено, что истинная природа случайного вырождения кроется в наличии симметрий, выходящих за рамки чисто геометрических, и названных скрытыми симметриями.
Эти симметрии порождают дополнительные интегралы движения, существование которых может быть иногда угадано и из других соображений. Так, наличие наряду с моментом импульса дополнительного вектора, лежащего в плоскости орбиты, направленного по большой оси эллипса и равного по модулю эксцентриситету было предсказано еще на заре развития теоретической механики Лапласом [14]. Известно , что именно этот интеграл движения является причиной замкнутости траекторий в кеплеровской задаче. Бертраном [15] было доказано, что среди центрально-симметричных полей лишь в кулоновом и осцилляторном полях частицы движутся по замкнутым траекториям.
Теория скрытой симметрии после работ Шока развивалась в нескольких направлениях и нашла свое отражение во многих обзорах и статьях [21-61] . Наиболее близкой к теме диссертации является направление, которое отталкивается от связи существующей между скрытыми симметриями уравнений и возможностью разделения переменных в них. Указанное направление имеет много точек соприкоснове-

После этого легко написать единый ответ
^ А/ і^Ц/ ьъ _ ПҐ~*' / (А/+/-)'(Л'-р)1 (] 1 г
< тнчъръ - -ргг / ^77^7, (Лг М'
4// р [— > у*,-**
1*9 •
/ІІ.6
Перейдем теперь к обсуждению разложения эллиптического базиса по полярному. На языке подбазисов с данной четностью это раз-*)
пожение имеет вид.
¥‘%У) /И.7
/л^ *» = «;/ *>*
Как и выше, устремляя ^ к нулю и пользуясь формулами /7.19/ и /7.15/, получаем
/ ц ^ с+>
<Л',г»=о1Л',}>„ -(&) С^(£> /п.8
Зычисление остальных коэффициентов проводится в полной аналогии з тем, что делалось выше для случая Ип =£ О * Это приводит к формулам

<Л/,у»1Мр> х /п.ю
Для упрощения записи в нижеследующем тексте вместо двух квантовых чисел и ~ /У / используется
только £ = .
/II.9/