Перерассеяние частиц в поле сил ангармонического осциллятора со слабо-диссипативным возмущением

• Автор: Сухаревский, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 138 с. : ил.

Глава 1. Получение аналитических выражений для координат орбит периода

Бифуркационная диаграмма вещественности координат орбит

1. Постановка задачи

2. Механические модели

3. Нахождение аналитических выражений для бистабильных состояний

4. Исследование бифуркационных свойств бистабильных состояний (построение бифуркационной диаграммы)

5. Регуляризация полученных решений

6. Выводы

Глава 2. Исследование устойчивости орбит периода

Построение бифуркационной диаграммы топологических типов орбит

1. Общие вопросы

2. Исследование топологических типов орбит периода (бистабильных состояний)
3. Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов
4. Нахождение бифуркационных поверхностей в пространстве параметров
5. Определение параметров, определяющих топологический тип фокус
6. Устойчивость бистабильных состояний
7. Выводы
Глава 3. Модель перерассеяния частиц. Определение температуры и плотности потока частиц для квази-равновесной системы в ангармоническом осцилляторе
1. Постановка задачи
2. Данные численного эксперимента
3. Оценка температуры
4. Оценка плотности
5. Дополнительные математические исследования
6. Применение методик изучения моделей с дискретным временем для модели лазера
7. Термодинамическая интерпретация численных данных для системы "Bogdanov-map"
8. Выводы
Заключение
Литература
Приложение 1. Листинг программы построения зависимости температуры от периода орбиты
Приложение 2. Данные численного эксперимента по вычислению площадей захвата периодических орбит

Актуальность и общая характеристика работы
Теоретическое исследование реальной физической
системы приводит к построению упрощенной,
идеализированной математической модели. Определенная
идеализация всегда неизбежна, так как для построения математической модели (то есть, для составления той или иной системы уравнений, описывающих поведение физической системы) необходимо учесть лишь основные факторы, определяющие интересующие нас черты поведения системы. Определить, подходит ли данная модель (идеализация) для данной конкретной физической задачи, можно в конечном итоге, только опытным путем [1].
Такой подход к теоретическому изучению физики
потребовал глубокого исследования динамических систем. Под динамической системой понимают объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию)
начального состояния с течением времени [2]. Задание закона эволюции динамической системы может быть
разнообразным: с помощью дифференциальных уравнений,
дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и проч. Выбор одного из этих способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы [3] . Математическая модель считается заданной, если указаны координаты
1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 04-01-00115

системы, однозначно определяющие ее состояние и указан закон эволюции. Закон эволюции в операторной форме для
координаты системы в 11-мерном фазовом пространстве %(/) и начального состояния ^-Оо) можно записать в виде:
Х(1)=ТА1«),
где ^ - оператор эволюции [3]. Таким образом,
оператор эволюции отображает фазовое пространство на себя.
Динамические системы классифицируют в зависимости от
вида оператора 'Ц и структуры фазового пространства. В этой классификации можно выделить два подкласса - системы с непрерывным и дискретным временем. Оба этих направления исторически развивались параллельно, взаимно дополняя
друг друга, со времен Ньютона и Эйлера. Столь давнюю историю динамических систем можно пояснить следующим образом: для решения задач, например, по баллистике,
задавалась динамическая система, основанная на уравнениях Ньютона. Системам с дискретным временем в основном отводилась роль расчетных «приближений» непрерывных систем (например, разностные схемы для аппроксимации дифференциальных уравнений, хотя не следует забывать и о задаче Фибоначчи о кроликах, датируемой 1202 годом).
С началом развития во второй половине 19 века
статистической физики, дискретные модели начали приобретать самостоятельное значение, так как стала учитываться молекулярная (атомарная) природа вещества. В то же время, идеи, развитые в рамках молекулярно-

ТгА = 1+ БеїА + у-{-&2 +2к -2р к - 4к(є + 2)+2(є + )к].

Выносим общий множитель:
ТгА = 1 + ИеіА + к^-{-к-2/і-2{є+2)}.
Заменяя линейные формы, получим :
ТЫ-1 - ЙМ - *(*-2(«+2)Х* + 2(» + 2)+2 Л)
к + /і
Что и требовалось доказать.
3. Некоторые вспомогательные леммы геометрии многочленов.
Рассмотрим уравнение вида Р4 + Р3 + Р2 - 0, причем
известно, что
Р4 + Р3 + Р2 = к2 ( Ак2 + Вк + С) . (2.8)
Коэффициенты квадратного трехчлена в скобках (2.8):
Это несколько искусственное представление будет удобно в доказательстве Леммы 4 для исключения одной переменной на поверхности £>(/,//,&) = 0, согласованное с проективной картой к = 1.
Лемма 3. Линия касания поверхности нулей формы (2.8) с радиус-вектором из начала координат задается уравнением В2 - 4АС=0.
Доказательство.
Линия касания задается уравнением: