Размножение нелинейных интегрируемых уравнений теоретической физики

• Автор: Зыков, Сергей Арленович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 103 с.

Глава 1. Интегрируемые нелинейные модели
1.1. Примеры нелинейных моделей в физике
1.2. Методы решения проблемы интегрируемости
1.2.1. Метод Уолквиста-Эстабрука
1.2.2. Обобщенные симметрии интегрируемых уравнений
1.2.3. Метод Ковалевской - Пенлсве - Вейса
как метод проверки интегрируемости
Глава 2. Процедура размножения нелинейных уравнений
2.1. Преобразования Дарбу и одевающие цепочки,
метод факторизации в квантовой механике
2.2. Процедура одевания уравнений па примере уравнения Кортеисга - де Фриза
2.3. Одевающая цепочка и размножение уравнения .яіп-Гордон
2.4. Выводы
Глава 3. Применение схемы размножения к системам уравнений
3.1. Размножение уравнения Каупа-Буссинеска
3.2. Новые интегрируемые системы уравнений как замыкания
модифицированных 2Б цепочек Тоды
3.3. Модифицированные уравнения Цицейки
3.4. Выводы
Глава 4. Исследования систем, близких к интегрируемым
4.1. Безотражательные потенциалы яіп-Гордон
уравнения с бесконечным спектром
4.2. Вихри и магнитные структуры типа „мишени“ в двумерном
ферромагнетике с неоднородным параметром анизотропии
4.3.Выводы
Заключение
Литература

Практически всякая модель теоретической физики представляет результат некоторого приближенного описания реальных физических явлений. Цель приближений заключается в изучении основных взаимодействий, определяющих главный вклад в физику процесса, в выяснении основополагающих связей между явлениями.
В то же время, ограничения на модель накладываются, как правило, такие, чтобы для нее можно было найти решения в явном виде или достаточно полно их исследовать.
Интегрируемые нелинейные уравнения теоретической физики НС являются в этом смысле исключением. Они учитывают не только линейную дисперсию системы, но и основной вклад нелинейного взаимодействия. У самых различных процессов нелинейное взаимодействие имеет в нервом приближении похожий вид и часто определяется геометрией задачи. Поэтому интегрируемые уравнения, как правило, настолько универсальны, что одно и то же уравнение описывает самые разнообразные физические процессы в гидродинамике, оптике и физике конденсированного состояния.
С другой стороны, для ряда нелинейных моделей разработаны глубокие и конструктивные аналитические методы, такие как метод обратной задачи рассеяния |1| и метод “одевания’, направленный, в частности, на построение многосолитонных решений посредством применения преобразования Дарбу |2].
Для применимости как первого, так и второго метода нелинейное уравнение для ПОЛЯ и ДОЛЖНО быть представлено В виде условия совместности (Фг)< - линейной
системы дифференциальных уравнений
Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в работе [3], а систему (1) называют II-V нарой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Для уравнений теоретической физики, ассоциированных с некоторой парой Лакса, можно соответствующими методами решать начальную задачу Коши и находить обширный класс явных решений.
Например для уравнения .чіп-Гордои
для которого матрицы II и Кимеют вид
(1)
для вспомогательной функции
но начальной функции и(х, 0), достаточно быстро убывающей при |х| —> с», строятся данные рассеяния для первого уравнения системы (1) [1]. Вследствие второго уравнения системы (1) динамика данных рассеяния сводится к системе линейных дифференциальных уравнений, которая легко интегрируется. Возвращаясь к прежним нолям с помощью обратного спектрального преобразования, получаем точное решение начальной задачи для уравнения (2) [2].
Уравнения, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния, как правило, настолько универсальны, что одно уравнение описывает самые разнообразные физические процессы. Например, уравнение ят-Гордон используется для теоретического описания доменных границ в магнетиках, перегибов на дислокациях в кристалле, флгоксоноп в джозефсоновских контактах и др.
Метод обратной задачи рассеяния аналогичным образом применим к широкому классу нелинейных моделей, таких как уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ)
уравнение Буссннеска, уравнение Каупа-Буссинеска, уравнение Ландау-Лифшица (одномерного магнетика), цепочка Тоды и др.
Подход к интегрированию уравнения, основанный на его представлении в виде условия совместности системы (1), был предложен П.Лаксом в работе [3|, а систему (1) называют U-V парой Лакса, ассоциированной с соответствующим уравнением. Основы применяющихся в настоящее время методов интегрирования нелинейных уравнений были заложены в пионерских работах Гарднера, Грина, Крускала, Миуры, Каупа, Ныоела, Сегура, Абловица [2, 4, 5, 6), Захарова, Новикова, Шабата, Фаддссва и др. [7, 8, 9, 10]. В этих работах было показано, что для уравнения КдФ и нелинейного уравнения Шре-дингера переход к данным рассеяния является переходом к переменным действие-угол, построен гамильтонов формализм и доказано, что эти системы имеют бесконечный набор законов сохранения в инволюции. Оказалось возможным развить теорию возмущений, позволяющую описать динамику систем, близких к интегрируемым [11]. Такая теория возмущений учитывает характерные черты нелинейной среды уже в основном приближении.
dtu = ди + 6и 0хи,
(3)
нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)
i 0tu = ö2u + |u|2u,
(4)
2.4. ВЫВОДЫ

2.4 Выводы
Основная задача настоящей главы состояла в построении процедуры размножения интегрируемых уравнений. Мы показали, что существует определенная процедура, позволяющая по уравнениям КдФ и СГ рекуррентно строить ряд других интегрируемых уравнений совместно с их и — К-парами. По существу она является построением совокупности преобразований Ли-Бэклунда между нелинейными уравнениями с помощью Бэклунд преобразований.
При этом:
1. Впервые предложена процедура, позволяющая по интегрируемому уравнению и его и — П-паре получить новое интегрируемое уравнение и {/ — П-пару, ассоциированную с ним.
2. Получаемые предлагаемым алгоритмом дифференциальные уравнения в частных производных связаны операторным соотношением
г :(п)1 »г /"+1 п /п+1
Дп [и ] — М„( а )Д„+1( и ),
где Е^и) обозначают дифференциальные уравнения Еп(^и) = 0 для нолей (х, (). Оператор М„ является или производной Фреше (см. (1.22)), или сопряженной к ней.
Поле ( и удовлетворяет переопределенной системе линейных дифференциальных уравнений (ип, 1'гп-паре, где ( и ' - волновая функция) с коэффициентами, зависящими
- (п) (п) в (п) / п 1
от нолей и и их производных м(1= и (/I = 0,1; х0 = Ь,Х = т)и спектрального параметра А„. Исключение поля У из этой системы определяет вид функции
(п) (п+1) (п+1) . _ ,(п+1) .
и ( и , и,, , А„) (преобразование Миуры) и приводит к уравнению Еп+{ и ,А„) = 0. Преобразование Дарбу операторов Ьп, Лп приводит к двум одевающим цепочкам дискретных симметрий (преобразований Вэклунда). Оно реализуется дифференциальным многообразием
(п + 1) (п+1) (п+1) (п+1)
//Д ^/4 1 Уц 1 ^ ^ ^П + и — 0»
(п+1) „ ,(п+1) (п+1)
при этом поля V удовлетворяют уравнению Ьп+1( и —> V , А„—> Ап+1) = 0. Определенная, самосогласованная с преобразованием Дарбу, процедура замены переменных
(п+1) (п+1) /(п+1) (п+1) (п+2)А
V = V ( и , , и I преобразует это многообразие в с/п+1 —1„+1-пару (для уравнения Дп+1(( и а„) = 0) со спектральным параметром АГ1+1 для вспомогательной пе-
„ (п+2) ременной и
3. Впервые получено повое интегрируемое уравнение (2.59), связанное с уравнен нем яш-Гордон преобразованиями Миуры Простейшее солитонное решение этого уравне ння имеет вид „полочки“.