Сравнительный анализ различных представлений корреляционных функций в теории Черна-Саймонса

• Автор: Слепцов, Алексей Васильевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 Содержание диссертации
1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации
2 Вычисление ассоциатора Дринфельда
2.1 Интеграл Концевича
2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора
2.3 Решения
2.4 Сравнение с известными формулами для узлов
2.5 Препотенциал Дринфельда
3 Разложение при больших N для корреляторов Черна-Саймонса
3.1 Пертурбатнвные разложения полиномов ХОМФЛИ
3.2 Структура разложения т’Хофта
3.3 Замечания
4 Обобщение корреляторов на случай суперполиномов
4.1 Полиномы ХОМФЛИ для торических узлов
4.2 Деформация в характеры Макдональда
4.3 Замечания
4.4 Редукции суперполиномов
4.5 Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов
4.6 Коэффициенты Холла-Литтлвуда для торических узлов
4.7 Производящие функции
5 Заключение
6 Приложения
6.1 Приложение А. Уравнение КЗ
6.2 Приложение Б. Характеры симметрической группы
6.2.1 Примеры структурных констант
6.2.2 Таблица характеров симметрической группы дДД)
6.3 Приложение В. Суперполиномы
6.3.1 Неузлы
6.3.2 Случай (2, п), серия п = 2к фундаментальное представление
6.3.3 Случай (2,п), серия п = 2к + 1 фундаментальное представление . .

ГлсіВсі
Введение
В работах [1, 2] было предложено рассмотреть трехмерную (2 + 1) квантовую теорию поля с действием Черна-Саймопса и неабелевой калибровочной группой С для изучения топологических инвариантов. Идея довольно проста.
Действие Черна-Саймонса для векторного поля А/( = А“Та
5(А) = ^/мз сРхе^Тг + ІА^Ар) (1-0.1)
построено без введения метрики на Л43, поэтому естественно ожидать, что наблюдаемые не будут зависеть от метрики, а будут зависеть только от своей "топологической конфигурации". Будем полагать, что ЛА3 = а3, а Є = 517 (IV), тогда Та являются генераторами алгебры ви(1V). След в действии берется по фундаментальному представлению, а к - это константа связи, иногда ее называют уровнем теории. В качестве наблюдаемых будем рассматривать калибровочные инварианты, а именно корреляционные функции операторов Вильсона. Оператор Вильсона в случае неабелевой теории для контура С дается следующим выражением:
Иф(С, А) = Тгд (Рехр і £ АДх^ , (1.0.2)
где І? является неприводимым представлением рассматриваемой алгебры Ли и поэтому нумеруется диаграммой Юнга. Коррелятор петли Вильсона равен
{Уп{К,)) = I РА е^ ¥Я(С, А), (1.0.3)
и уже не зависит от реализации контура С в 53, а зависит от топологического класса эквивалентности узла К,, и следовательно, коррелятор (¥л(К.)) определяет топологический инвариант узла.
Свое развитие эта идея нашла в работах [3], где было показано, что физические состояния теории Черна-Саймонса описывают конформные блоки двумерной конформно-инвариантной теории Весс-Зумино-Виттена. То есть было установлено соответствие между 3(1 калибровочной теорией и 2(1 конформной теорией. Используя это соответствие, Э.Виттен сумел вычислил корреляторы вильсоновских петель для группы ви (2). Для конкретного узла и конкретного представления ответ дается многочленом но переменным
По сути, эти многочлены являются нетривиальными обобщениями характеров группы Ли (Д Эти же самые многочлены были вычислены по узлу исходя из совершенно других соображений в работах [32, 33, 108, 109, 110, 111, 126, 127] и называются полиномами ХОМФЛИ для 3(1 (М) (в частности, полиномами Джонса для 811(2)) и полиномами Кауффмана для 50 (IV):
Таким образом, Э.Виттен с помощью непертурбативных методов не только установил соответствие между 3(1 калибровочной теорией Черна-Саймонса и 2(1 конформной теорией, но и точно вычислил корреляторы вильсоновских петель.
Позже в работах [7] было показано, что теория перенормируема и не содержит расходимостей, т.е. конечна. Коррелятор (ИД(/С)} имеет осмысленное пертурбативное разложение по константе связи
Это разложение оказывается исключительно плодотворным, поскольку приводит к инвариантами конечного типа (инвариантам Васильева) v^m. Впервые эти инварианты были получены в работе [4]. Их связь с полиномиальными инвариантами установлена в [5, 6]. Более того, в калибровке светового конуса из функционального интеграла (1.0.3) можно вывести универсальный инвариант Васильева [8], известный как интеграл Концевича [9]. По сути мы записываем коррелятор как ряд по инвариантам Васильева:
<7 = ехр(Й.) А = ехр(АТН), где введено обозначение, смысл которого станет ясен чуть ниже,
(1.0.4)

(1.0.5)
(И'н(ДС)) = ^л(ЛС), 0 = 5С/(ДГ)
(1.0.6)

(1.0.8)

В некотором смысле он "двойственен" полиному Александера
хотя в других отношениях свойства специальных полиномов несколько проще.
В частности, так как в планарном пределе среднее многоследовых операторов раскладывается на произведения средних, то техники, основанные на каблировании, немедленно влекут за собой то, что специальные полиномы имеют очень простую зависимость от І?. [28, 46, 50]:
Это свойство будет отправной точкой в нашем кратком обзоре интегрируемых свойств полиномов ХОМФЛИ в разделе 3.3 далее.
Как уже упоминалось, разложение по родам идет в действительности по степеням К при фиксированном А. Однако, если буквально использовать Н, могут скрыться некоторые свойства: в частности, полином ХОМФЛИ - это полином Лорана по г/, тогда как это бесконечный ряд по Н. Следовательно, имеет смысл использовать параметр г — д — <Г1 = Н + 0(?А).
Следующим шагом "пертурбативно" восстановим нормированный полином ХОМФЛИ путем изучения г-поправок к специальному полиному и сосредоточимся на деформации свойства факторизации (3.2.17):
Все г = 0,1,2,... суть полиномы по А, зависящими от узла К. Ино-
гда мы опускаем значки А и К для упрощения формул. Также отождествим 0оА(Л) = ад (А). В основном нас интересует Д-зависимость. Оказывается, зависимость пертурбативных г-поправок от представления порождена характерами симметрической группы с конечным числом членов в каждом порядке разложения. Чтобы понять, как это выглядит, выпишем первые
(3.2.17)