Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве

• Автор: Жабин, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 108 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.Туннелирование частицы через потенциальный барьер
1.1 Матрица переноса в задаче туннелирования частицы через потенциальный барьер
1.2 Рекуррентные соотношения для параметров туннелирования
1.3 Туннелирование частиц с точно заданной энергией
1.4 Параметры туннелирования для прямоугольных потенциальных барьеров и для 5-потенциалов
1.5 Фазовые времена туннелирования
1.5.1 Время прохождения (тунелирования)
1.5.2 Время отражения
1.6 Матрица переноса А-барьерной структуры из одинаковых барьеров
1.7 Матрица переноса самоподобного фрактального потенциала, расположенного на триадном канторовом множестве
1.7.1 Иерархическая структура самоподобного фрактального потенциала и ее свойства
1.7.2 Функциональное уравнение для матрицы переноса самоподобного фрактального потенциала
1.7.3 Решение функционального уравнения для параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала
1.8 Электронный транспорт через самоподобный фрактальный потенциал, расположенный на обобщенном канторовом множестве
1.8.1 Самоподобный фрактальный потенциал на обобщенном канторовом множестве
1.8.2 Функциональные уравнения для параметров туннелирования
1.8.3 Результаты и выводы
ГЛАВА 2. Физические свойства потенциалов на канторовом множестве

2.1 Самоподобный фрактальный потенциал на классе функций,
допускающих преобразование Фурье
2.2. Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы..
2.2.1 Иерархическая структура канторовой лестницы. Рекуррентное соотношение для матрицы переноса
2.2.2 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса
2.2.3 Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы при стремлении фрактальной размерности к единице
2.2.4 Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы
2.2.5 Некоторые результаты и выводы
ГЛАВА 3. Фазовые времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал
3.1 Функциональные уравнения для фазового времени туннелирования
3.2 Результаты и выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ I. КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО
ПРИЛОЖЕНИЕ II. КАНТОРОВ А ЛЕСТНИЦА
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время активно развивается новая дисциплина - теория сложности (см. например, [1 - 6]), которая изучает как динамические процессы, в которых большое количество независимых агентов действуют согласованно (самоорганизация сложных систем), так и объекты или явления, которые, различаясь в деталях, подобны в принципе. Можно сказать, что раздел теории сложности, изучающий в некотором смысле самоподобные объекты и явления, представляет собой теорию фракталов [3]. «« Действительно, развитие теории фракталов можно связать с
пионерскими работами Бенуа Мандельброта [7 - 9], в которых он предположил, что спекулятивные рынки можно описать при помощи сложных математических объектов, которые позже получили название фрактальных объектов. Еще в начале шестидесятых годов Мандельброт написал серию работ, в которых показывал, что временные ряды, имеющие ф место на рынке капитала, подчинены распределению Парето, которое, как
известно, обладает скейлинговым свойством. Скейлинг в данном случае понимается в том смысле, что сумма конечного или бесконечного числа случайных величин, распределенных по одному из устойчивых распределений Парето (см [10 - 13]), также представляет собой случайную величину с той же самой функцией распределения, что имеют слагаемые * суммы. Другими словами, для случайных величин, подчиненных одному из
(устойчивых) распределений Парето, не выполняется центральная предельная теорема. Как правило, для таких распределений нельзя определить один или оба из первых двух моментов. Более подробную

периодичности потенциала, и наглядно демонстрирует связь между однобарьерной и многобарьерными задачами.
Итак, пусть дано уравнение Шредингера с12х¥ 2т г

^т[Е-У{х)}'¥ = 0, (1.28)
<3х2 Н
где У(х) = v(x. - а,), если х&(ар Ь]) иначе К(х) =0; а}= а + (/'-1)0, Ь^=Ь + (/'-1)0; 7=1, ... , /V; щ< Ь|, О - период потенциала; т=сошТ, £>0. Здесь К(х) -некоторая гладкая функция (в работе [111] данная задача решена в предположении, что У(х) - гладкая функция, однако, как это уже отмечалось в параграфе 1.2 настоящей работы, полученные результаты останутся справедливыми и в случае, если под У(х) понимать обобщенную функцию). Для решения задачи, нужно найти решение уравнения (1.28), непрерывное вместе С первой производной ПО X В интервале (Ьо, Ядлц); где Ьд < <Т|, 6д/+1 < а,у+1,1 = а2- Ь] - ширина внебарьерной зоны.
Пусть общее решение уравнения (1.28) в области (Ь0, а) имеет вид, аналогичный (1.2):
ЧЧ*) = Ао+) ехр(('к0х) + ехр(-('к0х) (1.29)

где к0 =J ■ В соответствии с методом матрицы переноса [107] решение
в интервале (а., aN+) запишется в виде
f A^)G’Jx) + Air)G..Jx); xe(e„4.);
ip/x _ J 0 С.Л 4 > о Ü.HV '> v 7 7-” /I 2Q
[<)Я(; .1(х) + ЯГ)С|,„!(х); х е (bj,aj+l);

Сп.71 М = ?|1.7) (^)ехр(-2'к0х) - р(|(х)ехр(гк0х); (1.31)
яи.71 (*)=ехр(-«ох) - л ехР(/кох); (1 -32)
9{i,/>(x) и P(i./}(x) - элементы многобарьерной матрицы переноса И^Дх). МП У; |,/)(х) описывает усеченную систему потенциальных барьеров,