Точно решаемые модели в теории волн на воде и волновой турбулентности

• Автор: Шульман, Евгений Иосифович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 c. : ил

Глава I. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ И КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Глава 2. КЛАССИЧЕСКАЯ МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ В БЕССОЛИТОННОМ СЕКТОРЕ

Глава 3. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЗАКОНЫ ДИСПЕРСИИ И ТЕОРЕМЫ

О НИХ

Глава 4. ПРИМЕРЫ ПРОВЕРКИ КЩКРЕТНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ НА интжшетюсть

Глава 5. СТРУКТУРА ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ И КЛАССИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ СИСТЕМ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ДВИЖЕНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧНО РЕШАЕМЫХ МОДЕЛЕЙ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДШИЕ
Точно решаемые модели представляют особый интерес для теоретической физики, так как в значительной мере на их основе формируются научная интуиция и качественное понимание физических процессов, что особенно важно в тех областях, где принципиально важна нелинейность и мало помогают наглядные представления. Это в полной мере относится к физике нелинейных волн. Несмотря на разнообразие различных конкретных физических систем, в которых возникают волновые задачи, число соответствующих математических моделей относительно невелико. Именно это обстоятельство позволяет на основе детального изучения небольшого числа моделей качественно понять особенности волновых процессов различной физической природы. Большинство этих универсальных моделей встречается в физике волн в жидкости. Более того, многие из них были впервые выведены именно для гидродинамических задач. Примечательно, что метод обратной задачи рассеяния - новый метод математической физики - был открыт в пионерской работе К.Гарднера,
Дж.Грина, М.Крускала и Р.Миуры [I] именно на примере уравнения, выведенного еще в XIX веке Кортевегом и де Вризом для описания слабонелинейных длинных поверхностных волн в прямоугольном канале с водой. До работы М , точно решаемых и важных с точки зрения физики моделей с бесконечным числом степеней свободы было, ло-видимому, только три - это анзац Г.Бете [2], точное решение Л.Онзагером двумерной модели Изинга [3] и уравнение Бюргерса [4,5]. Метод обратной задачи рассеяния позволяет подробно исследовать многие универсальные уравнения теории нелинейных волн, которые с математической точки зрения являются гамильтоновыми нелинейными системами с бесконечным: числом степеней свободы

дальнейшем точно решаемыми мы будем называть именно такие системы уравнений. Уравнения же типа уравнения Бюргерса мы рассматривать здесь не будем. Если к нелинейной системе уравнений в частных производных применим метод обратной задачи рассеяния, то можно регулярным образом строить для неё обширные классы точных решений, получать бесконечные наборы интегралов движения и в некоторых случаях доказывать полную интегрируемость в смысле Лиувилля (таких примеров до появления метода обратной задачи не было). Понятно поэтому, почему в течение последних полутора десятилетий усилия многих ученых были направлены на развитие метода обратной задачи как в математическом плане, так и применительно к этим важным в физике классическим точно решаемым моделям. С основными этапами развития метода можно познакомиться по работам [б-12]. На основе классического метода обратной задачи школой Л.Д.Фадцеева развивается квантовый метод обратной задачи, однако мы здесь его не будем касаться.
К настоящему моменту подробно изучены точно решаемые одномерные уравнения. Наиболее известные среди них - уравнение Кор-тевега - дё Вриза [l,I3], нелинейное уравнение Шредингера [7,8, 14], уравнение Sin -Гордон [к], уравнения главного кирального поля [1б], уравнения резонансного взаимодействия трех волновых пакетов [17,18]. Подробное и систематическое изложение метода обратной задачи рассеяния в различных его вариантах можно найти в книге [1Э]. Как уже упоминалось, все точно решаемые уравнения. имеют бесконечную серию законов сохранения, а некоторые из них оказываются полностью интегрируемыми в смысле Лиувилля. Для таких моделей с помощью метода обратной задачи можно явно строить переменные действие - угол (см., например, [и]), так что гамильтониан будет зависеть только от действий. Во всех
дисперсии существуют. Обозначим компоненты вектора К через <р*>* пусть определяется параметрически по формулам
= <а(?.)-«(?.), 6(^0- (3-10)
где с» и о - произвольные Функції и одной переменной. Тогда трехмерное многообразие Г*’2 может быть параметризовано по формулам
; р, = •?,-■$. ; р, = ч.т.
(З.ІІ)
^ = а с чО %= «(т,)-а(ГО;
Очевидно, что любая функция #Ск) , параметри зущаяся по формулам
р= у,-?«; с^о.б'р-<*(?/); суо <3-12)
удовлетворяет уравнению (3.9) на (3.8), то есть параметризация (З.ІІ) задает вырожденные законы дисперсии при с1 = 21 . Вид
кона дисперсии (3.10) очень просто интерпретируется с точки зрения метода обратной задачи рассеяния. Именно,линеаризованные уравнения, решаемые методом одевания [э], связаны с совместностью уравнений