Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля

• Автор: Казинский, Пётр Олегович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 157 с. : ил.

1 Самодействие в линейных теориях

1.1 Общая линейная теория в плоском пространстве

1.2 Регуляризация реакции излучения

1.3 Выводы

2 Примеры регуляризации в линейных теориях

2.1 Регуляризация в случае электрически заряженной браны

2.1.1 Массивная частица

2.1.2 Безмассовая частица

2.1.3 Выводы

2.2 Модели браи с магнитным взаимодействием

2.2.1 Выводы

2.3 Электрически заряженная струна с током
2.3.1 Заряженная струна с током
2.3.2 Заряженное кольцо
2.3.3 Абсолютно несжимаемая струна
2.3.4 Выводы
2.4 Локализация поля источника
2.4.1 Выводы
2.5 Сокращение расходимостей
2.5.1 Выводы
2.6 Реакция излучения мультипольных моментов
2.6.1 Уравнения движения и мультиполі!
2.6.2 Эффективная динамика мультипольных моментов
2.6.3 Гидродинамический подход
2.6.4 Выводы
3 Самодействие в нелинейных теориях
3.1 Общая постановка проблемы
3.2 Теория возмущений и регуляризация диаграмм
3.3 Выводы
4 Примеры регуляризации в нелинейных теориях
4.1 Гравитирующая брана
4.2 Сингулярный ток в модели фп
4.3 Массивная электрически заряженная частица
4.4 Выводы
Заключение

А Функции Грина уравнения Клейна-Гордона
В Система координат Морса
С Асимптотическое разложение основного интеграла
Б Теория возмущений для многокомпонентного поля
Список литературы

Описание динамики электрически заряженных низкоразмерных структур, таких как частицы, струны, мембраны является традиционным вопросом классической электродинамики. Использование таких моделей обусловлено тем, что они позволяют значительно упростить решение системы интегродифференциальных уравнений Максвелла-Лоренца. Успешное использование нпзкоразмерных моделей в классической электродинамике стимулировало их использование в других разделах теоретической физики: в гравитации; в теории струн; в теории космических струн; в теории сверхпроводимости, при описании вихрей; в теории дислокаций и т.д. Однако в большинстве случаев исследуется несамосогласованная динамика таких объектов, т.е. обычно считается, что влиянием поля, созданного самим заряженным объектом, можно пренебречь.
Построение уравнений движения с учетом самодействия в рамках классической электродинамики имеет уже столетнюю историю. Для точечной заряженной частицы в четырехмерном пространстве времени эффективные уравнения движения, т.е. уравнения движения с учетом эффектов самодействия, были получены Лоренцом [1] еще в начале прошлого века, а затем обобщены Дираком [2] в 1938 г. на релятивистский случай. Обобщение этих уравнений на произвольный кривой фон было дано ДеВиттом и Бремом [3] в 1960 г. и скорректировано Хоббсом [4] в 1968 г. Обобщения уравнений Лоренца-Дирака на случай заряженной частицы со спином были проведены в работах [5, 6] в 1987-88 гг.
Тем не менее в последние годы снова возрос интерес к получению эффективных уравнений движения в рамках классической теории поля. Это обстоятельство вызвано как ростом экспериментальных возможностей, позволяющих регистрировать влияние эффектов самодействия, так и появлением новых моделей, эффективная динамика которых еще не была исследована. К первым можно отнести изучение эффективной динамики гравитирующих точечных масс, поскольку есть надежда зарегистрировать таким образом реакцию излучения гравитационных волн (см. [7-10] и ссылки в них). Как ни странно, но бурные исследования в этой области начались только в последнее десятилетие. Второй фактор роста интереса к эффективным моделям низкоразмерных источников полей во многом обязан теории струн, где возникли модели с дополнительным числом измерений пространства-времени, а также такие фундаментальные объекты как браны. В этой связи особое значение имеет получение самосогласованных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) в рамках классической теории поля, которые можно рассматривать как низкоэнергетический предел соответствующих квантовополевых уравнений, поскольку последовательного квантования моделей с бранами до сих пор еще не построено. На этом направлении были получены обобщения уравнений Лоренца-Дирака на шестимерное плоское пространство-время [Н], а также для частиц обладающих, помимо электрического, магнитным зарядом [12, 13]. Кроме того, были найдены ведущие вклады в силу самодействия частиц, струн и бран, взаимодействующих с различным спектром полей [14-20]. Стоит также отметить про непрекращающийся интерес к исследованию динамики сверхпроводящих космологических струн (см. обзор [21]) и струн, приближенно описывающих вихри в сверхпроводниках и плазме [22-28]. Даже в рамках классической

Подставляя эти выражения в формулу (1.42), получим, что лагранжиан, отвечающий эффективному действию (производящему действию для расходимостей), запишется как
Сопоставляя последнее выражение с (2.1.9) заключаем, что в данном случае возникают те же расходящиеся структуры, что и для электрически заряженной брапы (2.1.3) на фоне (2п + 3)-мерного пространства Минковского, но, быть может, с другими общими коэффициентами. Если при ЭТОМ “отключить” минимальное взаимодействие, Т.е. ПОЛОЖИТЬ /?1 = О, то, как видно из формулы (2.2.5), сила реакции излучения окажется локальной, а антисимметричная часть запаздывающей функции Грина (2.1.8) вообще не будет вносить вклада в самодсйствие. Последнее замечание означает лагранжевость самодсйствия. Формула для лагранжиана (2.2.7) перепишется как
Подставляя сюда асимптотическое разложение (1.31), можно видеть, что конечная часть силы реакции излучения равна нулю, а расходящаяся часть дается первыми (п + 2)/2 членами асимптотического ряда.
Нечетномерная брана. Обратимся к случаю нечетномерной браны. Для уменьшения объема выкладок будем считать, что коэффициенты 01,0:2, Д и /32 связаны соотношением ал/?! = 02/02- При выполнении последнего условия обобщенная сила Лоренца обращается в нуль на решениях свободных уравнений движения для поля Я, что приводит к локализации напряженности поля, создаваемого каждой точкой браны, в инфинитезималыюй окрестности этой точки и, как следствие, к локализации силы самодействия. Эффективная функция Грина принимает вид

Г гг
even

(2.2.8)
G'odd{x) = --(№r-m П-1^)
(2.2.9)

П-Чх) = e(x°)9odd{0, В'РВ = --Шг - ф). (2.2.10)
Откуда
B’PBImod(x, 0 = 0] - - (2п + Щ)1то*{х, 0} • (2.2.11)

Подставив это выражение в формулу (1.42), получим следующий лагранжиан:

+ 4Д2Ч,..,1„(т) [^С/"(т(г)Д)]^о}. (2.2.12)