Суперсимметричная квантовая механика, факторизация и сплетание матричных гамильтонианов

• Автор: Неелов, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 113 с.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1 Многочастичная ССКМ и модели типа Калоджеро
1.1 Системы с отделимым движением центра масс
1.2 Внутренняя структура компонент супергамильтониана
1.3 Примеры
1.3.1 3-частичная суперсимметричная система
1.3.2 /'/’-частичные суперсимметричные системы с парным взаимодействием

Глава 2 Операторы Данкла
2.1 Определение операторов Данкла [86], [87] для моделей типа Калоджеро
2.2 Локальная форма гамильтонианов
2.3 Сплетающие операторы в локальной форме
2.4 Операторная природа соотношений сплетания
2.5 Связь с суперсимметричной квантовой механикой
Глава 3 Соотношения сплетания с операторами Данкла, не сводимые к суперсимметричной квантовой механике
3.1 Автоморфные локальные операторы Данкла
3.2 Примеры с N =
3.3 Связь между операторами Данкла для Ь-образных схем Юнга
и операторами Лакса
3.4 Супероператор Лакса для модели Калоджеро в осцилляторном потенциале
Глава 4 Операторы Данкла и форм-инвариантность
4.1 Форм-инвариантность модели Калоджеро
4.2 Форм-инвариантность модели Сазерленда
4.3 Соотношения сплетания скалярных и матричных гамильтонианов типа Калоджеро
Глава 5 Суперсимметричная квантовая механика и
факторизация гамильтониана Паули
5.1 Гамильтониан Паули как матричная компонента супергамильтониана
5.2 Унитарный поворот
5.3 Зависимость спектра от импульса вдоль оси хг
5.4 Более общий метод факторизации
5.5 Случаи, когда диагонализуем
Глава 6 Факторизация многомерных матричных гамильтонианов как обобщение многомерной суперсимметричной квантовой механики
6.1 Обобщение ССКМ, использующее матричный аналог суперпотенциала
6.2 Сохранение четности фермионного числа
6.3 Обобщение ССКМ, использующее алгебру Клиффорда
6.4 Примеры. . . . :
Заключение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена применению многомерной суперсимметрич-ной квантовой механики (ССКМ) и ее обобщений для исследования нерелятивистских квантовых систем в многомерном пространстве, а также квантовых систем нескольких взаимодействующих частиц. Эти системы могут также иметь внутренние степени свободы (например, частицы со спином).
Нерелятивистские квантовые системы, исследуемые в настоящей работе, описываются стационарным уравнением Шредингера [1], соответствующим определенному гамильтониану. Поскольку система N взаимодействующих частиц в одномерном пространстве описывается таким же гамильтонианом, как и одна частица в пространстве N измерений в определенном потенциале, то в дальнейшем мы будем употреблять термин "многомерные квантовые системы", включая в их число также и системы нескольких частиц в одном измерении.
Некоторые из этих систем имеют известный дискретный спектр гамильтониана; такие системы называют точно решаемыми [2]. Если известна только часть спектра, то говорят, что квантовая система является квазиточно решаемой. Для других систем известны интегралы движения, находящиеся в инволюции; если число таких интегралов равно числу степеней свободы системы, то она называется интегрируемой [2].
Разумеется, основная часть многомерных квантовых систем не обладает свойствами точной решаемости или интегрируемости, и должна исследоваться различными приближенными методами; эта процедура может быть дополнительно затруднена, если частицы в системе обладают внутренними степенями свободы.
Многомерные точно решаемые модели являются инструментом проверки таких приближенных методов [3].
Целью данной работы является расширение класса (квази)точно решаемых моделей, описывающих частицы с внутренними степенями свободы, а

Из (1.43),(1.66) следует, что решением уравнения Шредингера с нулевой энергией ДЛЯ компоненты н(°) (со знаком ”-”) будет
Фаз = е~*П 1*< - хз‘- І1-73)

Можно привести вид супергамильтонианов целиком: для моделей Сазерленда и Бете-Янга,
Н=-& + '£У?1+(М-2) £>(*,■ - Хі) + £ ад;. (1.74)
і# іфз
Для тригонометрической модели Сазерленда спектр супергамильтониана (в базисе (1.19)) был найден в [66].
Для модели Калоджеро,
Н = -Д + и? £ 4 + £ -£ + 2о>£ -
* № 5/
- 0>(і + (ЛГ-1)(М + 1)). (1.75)
Спектр этого супергамильтониана (в базисе (1.19))был найден в [73].
Физический смысл операторов в гамильтонианах (1.74), (1.75) таков: состояния (1.19)
ФІ •••^41° >= Кі >; м<іу
можно рассматривать как состояния системы /V спинов 1/2, такие что спины с номерами направлены вверх, а все остальные-вниз. Тогда, опера-
тор Кіз в (7-74)ї (1-75) меняет местами спины г-й и у-й частиц.