Новый метод постановки условий излучения для решения задач распространения линейных волн в неоднородных средах

• Автор: Петров, Павел Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 123 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Обзор современных методов постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера
1.1. Условия излучения для волнового уравнения
1.2. Условия излучения для уравнения Шредингера
1.3. Выводы к первой главе
Глава 2. Нестационарный аналог параболического уравнения типа Тапперта и его использование в качестве условия излучения для волнового уравнения
2.1. Новый подход к получению операторной асимптотики Тапперта
2.2. Вывод нестационарного аналога уравнения типа Тапперта
2.3. Уравнение Тапперта как условие искусственной границы и корректность смешанной задачи
2.4. Численная схема для решения смешанной задачи для волнового уравнения в области с вертикальными открытыми границами
2.5. Численные эксперименты
2.6. Дополнение: некоммутативная аппроксимация Паде и высшие приближения использованной асимптотики
2.7. Выводы ко второй главе
Глава 3. Амплитудная форма условий излучения для нестационарного уравнения Шредингера
3.1. Амплитудная иерархия для уравнения Шредингера и уравнение Гамильтона-Якоби
3.2. Условия искусственной границы первого и второго порядка
3.3. Алгоритм решения задачи с открытыми границами для уравнения Шрсдингсра. Численная схема
3.4. Модельные расчеты: распространение гауссовых пучков
3.5. Выводы к третьей главе
Глава 4. Применение условий излучения к решению двух физических задач
4.1. Задача о рассеянии звука на тонкоструктурных неоднородностях профиля скорости звука
4.2. Оценка потерь на высвечивание акустической энергии из зву-
кового канала в мелком море методом параболического уравнения с условиями излучения
4.3. Выводы к четвертой главе
Заключение
Литература
Введение
Во многих задачах теории волн область, в которой исследуется их распространение, не имеет физических границ. В то же время для исследователя интерес представляет, как правило, волновое ноле внутри некоторой конечной части неограниченной области. Поэтому естественно и удобно переходить к рассмотрению этой части неограниченной области с помощью постановки искусственных границ, через которые волны излучаются во внешнюю среду. Такие искусственные границы называются излучающими (также употребляется термины: поглощающая граница, неотражающая граница, прозрачная граница). Условие, которому должна удовлетворять волновая функция на такой границе, называется условием излучающей границы или просто условием излучения. Это название мы и будем в основном использовать на всем протяжении работы, заменяя его на указанные синонимы, чтобы избегать повторений. По нашему мнению, оно лучше всего отражает физическое свойство, присущее искусственной границе такого типа. К тому же оно отражает обобщающий характер условий излучения по отношению к классическим условиям излучения на бесконечности (условиям Зоммерфельда).
Условия излучающей границы могут быть использованы для решения многих задач квантовой механики [79], акустики [39, 78], геофизики [61], метеорологии [65, 70], электродинамики [72], теории упругости [38] и других областей физики, где важную роль играют волновые уравнения. Так, например, в задачах геофизики и акустики волноводы, как правило, неограничены в горизонтальных направлениях и стратифицированы по вертикали. Естественно ограничиться частью такого волновода, поставив вертикальные искусственные границы, излучающие волны во внешнюю среду. Условие излучения на таких границах должно учитывать имеющуюся стратификацию. В ряде случаев их использование способно существенно упростить решение задач, в ко-

Мы воспользовались здесь тождеством 1 еГв1(1ь. Таким образом, имеем

следующую операторную асимптотику:

(А + еВ)1/2 = А1'2 + е
ВсГ*А1/2 Лз + 0(е2), (2.4)
впервые предложенную Ф.Таппертом. Заметим, что в его работе она была представлена без вывода, а доказательство предлагалось провести в следующем виде: возведем в квадрат обе части равенства (2.3), тогда при б1 получим следующее уравнение для С:
А1/2С + СА1/2
Подставив в это равенство выражение для С из (2.4), получим тождество
А112 С + С Ах

(е-аЛ1/2Ве-зА1/2 <1з
= В.
Вывод асимптотики (2.4), предложенный в нашей работе [69], представляется нам более систематическим. Разумеется, по формулам типа (2.2) можно получить дальнейшие приближения по б к выражению /(А + еВ). Рассмотрим разложение до второго порядка по формуле из [21 ]1 :
2 § f / 3 2 4 „ Р /' / 1 3 5 , „
/(А + еВ) = /(А) + е В уА, А] + ВВ е ( А, А, А ) + 0(е ), (2.5)

ох х — у Ох* х — г
1 Заметим, что дальнейшие выкладки легко можно перенести по индукции па произвольный порядок, однако, как будет выяснено далее, это не имеет непосредственного отношения к теме работы, и потому для сокращения формул ограничимся вторым порядком.