Низкоэнергетические эффективные действия и многоразрезные решения матричных моделей

• Автор: Васильев, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

0 Введение
0.1 Общая характеристика работы
0.2 Содержание диссертации
0.3 Основные результаты диссертации
0.4 Благодарности
1 Эффективное действие
1.1 Суперсимметричные теории
1.2 Л/" = 2 суперсимметричные теории и теория Зайберга - Виттена
1.3 Нарушенная .ЛУ = 2 теория
1.4 “Пертурбативное” вычисление суперпотенциала для .ЛУ = 1 теории
2 Многоразрезные решения матричной модели
2.1 Матричные интегралы и резольвенты
2.2 Решение в роде ноль
2.3 Матричная модель в представлении собственных значений
2.4 Система Зайберга-Виттена-Уизема
2.5 Свободная энергия как препотенциал системы ЗВУ
2.6 Вторые производные свободной энергии
3 Уравнение ВДВВ
3.1 Формула вычетов
3.2 Доказательство условий ВДВВ
3.3 Уравнения ВДВВ и пертурбативное разложение

4 Вычисление непланарных вкладов
4.1 Решение петлевых уравнений в старших родах
4.2 Вычисления в роде один
4.3 Свободная энергия в роде один и детерминантное представление
4.4 Связь с топологической В-моделью

Глава О
0.1 Общая характеристика работы Актуальность темы
Диссертация посвящена изучению многоразрезных решений матричной модели и их приложению к изучению низкоэнергетических эффективных действий для суперсимметричной калибровочной теории.
Матричные модели [1] в приложении к изучению физических явлений появились в работах Е. Вигнера и Ф. Дайсона. В этих работах изучалась связь между распределением ядерных уровней и собственных значений случайных матриц. В течение последней четверти двадцатого века матричные модели были применены во многих физических и математических задачах, включая распределение энергетических уровней в сложных системах, квантовый эффект Холла, проблемы лапласовского роста, квантовую гравитацию, теорию струн, интегрируемые системы, теорию чисел, комбинаторику графов на поверхностях, инварианты Громова-Виттена и многое другое.
Ключевой задачей квантовой хромодинамики является вопрос получения низкоэнергетического действия из действия калибровочной теории. В последние десять лет был достигнут большой прогресс в решении этого вопроса для суперсимметричных теорий. В 1994 Э. Виттен и Н. Зайберг нашли низкоэнергетическое действие для N = 2 суперсимметричной теории, используя тонкий анализ имевшихся результатов о

Двухточечная резольвента Теперь легко выразить двухточечную резольвенту в терминах бидифференциала В(Р, <2) на гиперэллиптической поверхности (2.21), где мы используем гиперэллиптическую координату А = £(Р) и д = £((?). В самом деле, используя формулы
(2.6), (2.62) и (2.59), получим:
Ж0(А, /х)йА фх = ^ ШТДТ*°о+хк(ІПі(х) = ^2 (2-86)
к,1>О ^ 1>о
где с1йк — (К}к — ^<1хк - мероморфный абелев дифференциал второго рода, имеющий единственную сингулярность в точке оо_, в которой он имеет поведение
с1С1к(ц) — —к + 0(1)) фх, при /х —+ оо_, к > 0, (2.87)
и имеет нулевые А-периоды $А с1йк = 0. Таким образом, функция Иф(А, /х) голоморфна всюду в случае, когда переменные А и ц соответствуют точкам на одном и том же листе, и имеет полюс второго порядка в точке
ц = А в том случае, когда эти две точки лежат на разных листах. В самом деле, рассматривая единственный неголоморфный вклад, получим:
ик—1
-Е-рт—цтд* (2-88)
Кроме того, имеет место очевидное нормировочное условие, которое фиксирует голоморфную часть и прямо следует из (2.86)
{ ¥о(,/х)фх = Ф УУо(,[1)(1 = 0, (2.89)

ввиду справедливости (2.72) и того, что Иф(А,/х) по определению симметрична по А и /х.
Тем самым, мы наконец получили формулу для двухточечной резольвенты:
/х)<Шд = = -В(Р, (3*), (2.90)
где введена операция естественной *-инволюции между двумя листами гиперэллиптической кривой С; при этом через С}* обозначен образ точки