Несимплектические обобщения и вариационные принципы гамильтоновой механики

• Автор: Ушаков, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение

1 Вариационные принципы в гамильтоновой механике

1.1 Вариационные принципы

1.2 Проблема ковариантной формулировки вариационного принципа

1.3 Случай «неправильных» граничных условий

1.4 Вариационные принципы и квантовая механика

1.5 Проблема граничных условий

2 Инвариантный вариационный принцип в гамильтоновой

механике

2.1 Нетривиальные фазовые пространства

2.2 Случай точной симплектической формы
2.3 Инвариантный вариационный принцип
2.4 Примеры и обсуждения
3 Несимплектические обобщения гамильтоновой механики

3.1 Гамильтонова механика и «нелагранжевы» системы
3.2 Особенности обобщенной гамильтоновой механики
3.3 Модели
3.4 Обсуждение
4 Многообразия Федосова и магнитный монополь
4.1 Многообразия Федосова
4.2 Магнитный монополь
Заключение
Приложение
Литература

Введение
1. Постановка проблемы и её актуальность. Диссертация посвящена изучению основ гамильтоновой механики и ее обобщений. Гамильтонова механика сыграла важнейшую роль при построении квантовой механики, но важно еще и то, что она допускает нетривиальные обобщения. В частности, в диссертации найдено обобщение гамильтоновой механики, позволяющее включить в формализм так называемые "нелагранжевы" системы, долгое время остававшиеся за рамками возможностей стандартной механики. Еще в 1896 году Пуанкаре изучал подобные уравнения - это уравнения движения заряженной частицы в поле магнитного монополя [1]. Данное направление исследований актуально, поскольку развитие физики привело к необходимости выявления наиболее общих законов механики, что важно для изучения физики на планковских расстояниях [2, 3, 4, 5). О фундаментальном характере гамильтоновой механики, ее важности в поиске наиболее общих законов природы свидетельствует и тот факт, что именно с модификацией механики связаны попытки решения проблемы темной материи. Довольно давно было предложено обобщить второй закон Ньютона для малых

структуре [28, 29]. В частности, так называемые системы типа Кирхгофа [29] могут быть включены в гамильтонов формализм, как кокасателыюе расслоение сферы 52, т.е. к стандартной симплектической структуре добавляется некая 2-форма, заданная на конфигурационном пространстве (конфигурационное пространство после редукции есть 52). Достаточно упомянуть, что к таким системам относятся [29]: движения твердого тела в идеальной, несжимаемой, покоящейся на бесконечности жидкости; движение твердого тела с закрепленной точкой в осесимметричном силовом поле; динамика спина в А-фазе сверхтекучего 3Не (уравнения Леггетта) и т.д. На квантовом же уровне мы можем иметь сферу с некоммутативными координатами [51, 52, 53]. Фазовое пространство с нетривиальной топологией может появиться также в калибровочных теориях, например, уже в простейших случаях фазовое пространство имеет структуру конуса [26, 43].
Топологические свойства фазового пространства зависят от того, является ли симплектическая форма точной или нет. Все к-формы на М определяют векторное пространство, с подпространствами замкнутых и точных форм. Фактор пространство
Нк(М, Ж) = ” замкнутые формы” /” точные формы”
называется к-мерной группой когомологий де Рама многообразия М [38]. Любой элемент этих групп является классом замкнутых форм, которые отличаются друг от друга только на некоторую точную форму.