Нелинейная стадия модуляционной неустойчивости

• Автор: Гелаш, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 84 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Метод одевания для
нелинейного уравнения Шредингера
1.1 Схема метода одевания
1.2 Общее А-солитопное решение
1.3 А-солитонное решение на фоне конденсата
Глава 2. Солитонные решения нелинейного
уравнения Шредингера на фоне конденсата
2.1 Односолитонное решение
2.2 Двухсолитонное решение
2.3 Солитонные атомы
2.4 А-солитонное решение на фоне солитона Перегрина
2.5 Аннигиляция солитонов
Глава 3. Суперрегулярные решения
3.1 Суперрегулярные двухсолитонные решения
3.2 Вырожденные решения
3.3 Суперрегулярные 2А-солитонные решения
3.4 Возможность экспериментального наблюдения суиеррегу-
лярных решений
Глава 4. Векторное нелинейное уравнение
Шредингера на фоне конденсата
4.1 Метод одевания для векторного нелинейного
уравнения Шредингера
4.2 А-солитонное решение на фоне конденсата
4.3 Односолитонное решение

4.4 Возможность существования векторных аналогов суперре-
гулярных решений
Заключение
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Введение
Фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) является одной из важнейших моделей для изучения распространения квазимонохромати-ческих волн в слабонелинейных средах. В частности НУШ описывает волны на глубокой воде [1], волны в оптическом волокне [2], Ленгмюровскис волны в плазме [3] и Бозе-конденсат с притяжением [4].
Покажем, как НУШ может быть получено для квазимонохроматического (узкого в к- пространстве) волнового пакета [5], [6]. Ограничимся одномерным случаем, хотя данные рассуждения можно без труда обобщить и на случай размерности D = 2,3. Мы имеем дело с гамильтоновой системой. Уравнения движения записываются в виде:
ак . .6Нш
Где а, а* - нормальные координаты, а Нщ - часть гамильтониана, отвечающая за взаимодействие. Т.к. волновой пакет узкий в к - пространстве, то все волновые вектора лежат вблизи ко (а все частоты вблизи шо) и по этой причине процессы, меняющие число волн (такие как 1—>2 + Зи1 —>2 + 3 + 4) являются нерезонансными. Поэтому в первом приближении гамильтониан взаимодействия отвечает четырехволновому взаимодействию (1 + 2 —* 3 + 4) и
уравнение движения (1) имеет вид:

^ + iwkak = -г Тк к, ь.2,к3а]а2аз0(к + к- - к2 - k3)dk^dk2dk3 (2)
Где Тк к, ;к2 к3 - матричный элемент четырехволнового взаимодействия, который вычисляется исходя из свойств конкретной нелинейной среды. Более того, для квазимонохроматического волнового пакета мы можем считать Т^кгкз ~ Т(ко,ко,ко,ко) — Т. Обозначим отклонение волнового вектора от ко как q:
|к - fco| — kl << N- Разложим и{к) вблизи ко-
ш(к) * и(к0) + qvgr + (3)
Легко проверить, что выполняются следующие тождества:
|qi|2?2i922- (Qi ' 42)921^12 - (qi ■ q£)gi*iffi2 + |q2|29iigi2 = 0,
(qi -q^iiЯ22- (q; ■ q2)g|iei2 s
(kill2 - kl2|2)92lQ'22+ (k2112 — |922|2)£?11Q12, |qi|2|q2|2 — |(qi • q2)|2 = I (128)
Заметим, что когда полюса не находятся на действительной оси (од & 0, ад & 0) и групповые скорости не равны друг другу (РЬг, 6= РЬг2), можно добиться од = 0 и од = 0 с помощью сдвигов решения по х ut. В таком случае солитоны сталкиваются при (х = 0,£ = 0). Здесь и далее в указанном случае мы полагаем /х 1 = 0 и од = 0. Знаки параметров од и 02 определяют знаки групповых скоростей. В общем случае двухсолитонное решение меняет фазу конденсата. Пример двух солитонов, движущихся в одном направлении и затем сталкивающихся представлен на Рис. 9. Можно записать двухсолитонное решение в
Рис. 9: Общее двухсолитонное решение у? в моменты времени і = -10 (слева) и і = 0 (справа) с параметрами: Л, = 2, а% = п/8, Д2 = 3, а2 = 7г/3, щ = д2 = 0, ^ = в2 = 0. Зеленые штрихованные линии - действительная часть р, красные короткие штрихованные линии - мнимая часть <р, синие непрерывные линии - по модулю в квадрата