Нелинейная модель Больцмана - Энскога и автокорреляционные функции

• Автор: Масленников, Илья Игоревич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Нелинейное уравнение Больцмана- Энскога с дальнодействием и его гидродинамические решения

§ 1. Оператор Больцмана-Энскога

§2. Учет дальнодействующей компоненты двухчастичного потенциала в первом порядке по параметру однородности

§3. Гидродинамическое приближение

Глава 2. Гидродинамические уравнения в линейном приближении модели твердых сфер

§ 1. Линеаризованное кинетическое уравнение

§2. Структура соответствующих уравнений гидродинамики

§3. Исследование общих формул

Глава 3. Асимптотическое поведение автокорреляционных функций в нелинейной модели Больцмана — Энскога с дальнодействием
§ 1. Определение автокорреляционных функций
§2. Линеаризованная модель
§3. Исследование эффектов включения дальнодействия
Заключение
Список литературы

Введение.
Исследование эволюции физических систем многих частиц на основе математически корректной динамической теории представляет собой основную задачу неравновесной статистической механики. Особое место в ней занимают вопросы, связанные с изучением поведения системы многих взаимодействующих частиц вблизи состояния равновесия. При отсутствии достаточно надёжных методов анализа нелинейных систем с большим числом степеней свободы особенно важным является построение различных моделей, в той или иной степени использующих идеи Максвелла и Гильберта о сокращении описания при определённых предположениях о свойствах систем в конкретных физических ситуациях. Изучение процесса установления равновесия важно также для обоснования основных принципов кинетической теории. К их числу в первую очередь относится метод функций распределения, сформулированный H.H. Боголюбовым [1,2], развивающийся в ряд направлений классической и квантовой статистики [3-8]. Основной идеей метода является введение, исходя из первых принципов, приведённых функций распределения и построение на основе иерархии зацепляющихся кинетических уравнений, обобщающих уравнения Больцмана. Физические представления о переходе системы к равновесному состоянию связаны с рассмотрением картины малочастичных столкновений. Предполагается, что равновесие устанавливается в два этапа: кинетический, при котором достигается локальное равновесие в пространстве скоростей, и гидродинамический, который приводит к полной релаксации к равновесию. Наиболее полно этим методом могут быть изучены неравновесные процессы в газах в низших порядках по плотности [9-12].

Для разряженных газов в теории имеется естественный безразмерный малый параметр па3 ( п - плотность числа частиц, а - характерный размер области бинарного взаимодействия). В первом порядке по этому параметру, как было показано Н.Н. Боголюбовым, можно получить уравнение Больцмана, достаточное для описания широкого круга процессов, происходящих в системах малой и средней плотности [13-15].
Важнейшими характеристиками системы многих взаимодействующих частиц при её переходе в состояние равновесия являются коэффициенты переноса. Для их вычисления вблизи состояния равновесия следует изучить поведение функции распределения при больших временах, значительно превышающих времена релаксации: среднее время столкновения tcoll, среднее время между столкновениями tmfp. H.H. Боголюбов предложил решать эту задачу в два приёма: сначала определяется поведение бинарной функции распределения для времен t з> tcoll путём разложения бесконечной цепочки интегро-дифференциальных уравнений по малому параметру па3; затем для времен /»tmfp может быть найдена одночастичная функция
распределения как функция локальных макроскопических переменных системы: плотности n(r,t), скорости u(r,t) и температуры 6(r,t). Поведение бинарных функций распределения для больших времён, согласно H.H. Боголюбову, определяется для широкого класса начальных условий путём выбора специальных решений иерархии ББГКИ, таких, что бинарная функция распределения и функции распределения высших порядков являются функционалами от одночастичной функции распределения. Используя фундаментальное граничное условие ослабления корреляций можно определить явный вид этих функционалов и получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения /(г, v,t).
Задача нахождения f(r,v,t) при больших временах (t»tmfp) может быть решена [13-15] посредством использования метода Гильберта — Энскога. Он

21,,=
ид г О ОЛ д и г 0
г г гл/3 О О
0 0 О Л- О
0 0 0 0
(1.60)
где введены обозначения

—Втв и +—лпа2 ]+—Вв 1 +—лпс? 3 т 5 ) 3 7 I
-|-£>тгГі+■— тгия3!-—А,г| +^лпа
Г~ ^^(1+5ЯЛв31«
я = -пОв І 1 + —я-иа3 |.
(1.61)
Производя вычисления с использованием формул (1.43),(1-45),(1.60),(1.61),
окончательно найдем коэффициенты г.

0.2) _
уг{28 + у{ъ^ а2-ёг-2у2 + а~-52-2у-

г-р} = —£а2 -<52 -2у2 ^ |(а-5)|-2гу + гл/з (от + 5)) + 2у[-у(м + <7) +г (о: ч- <5)]| +па2р^
(4,5) 5 2 (4,5)
' = — + па рх п
(1.62)
где а,б,у определяются формулами (1.42), и введены обозначения

ртмСом| ^.<я£Сом.
У=1 <=
(1.63)