Негамильтонова динамика тонкого стержня в поле внешних сил

• Автор: Рабаданов, Рамазан Газимагомедович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 141 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ СОСТАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ И НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ
1.1. Вариационный подход
1.2. Обобщение уравнения Эйлера - Лагранжа
1.3. Уравнения Гамильтона
1.4. Уравнения теории упругости
1.5. Применение феноменологического подхода для
составления уравнений движения
Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫЧИСЛЕНИЕ СИЛЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ, ДЕЙСТВУЮЩЕЙ НА ПРОИЗВОЛЬНО ДВИЖУЩЙСЯ В НЕЙ ОЧЕНЬ ГИБКИЙ СТЕРЖЕНЬ
2.1. Физические аспекты криволинейного движения
2.2. Постановка задачи и цели работы
2.3. Вычисление силы сопротивления, отнесенной к единице длины цилиндрического тела при малых числах Рейнольдса
2.4. Сила сопротивления вязкой среды, действующая на произвольно изгибающийся при движении стержень 3
Глава 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ВНУТРЕННИХ ДЕФОРМАЦИОННЫХ ИЗМЕНЕНИЙ
3.1. Вывод основных нелинейных уравнений динамики с учетом деформационных изменений структуры стержня
3.2. Анализ уравнений
3.3. Движение растяжимого стержня (вывод уравнений динамики)

3.4. Решение уравнений
3.5. Движение в вязкой среде массивного стержня 94 Глава 4. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время на передний план исследований начали выходить задачи, решение которых в большинстве своем связано с применением различных численных методов анализа. Это, однако, вовсе не означает, что не существует задач, которые могли бы решаться с помощью разнообразных аналитических методов (типа разложений в интеграл Фурье или в интеграл Лапласа и т.п.). Хотя, конечно, время классических задач из области теоретической физики постепенно отходит на второй план. Наиболее яркий расцвет «линейной» науки приходится на прошлый век, о чем свидетельствует масса литературных источников, из которых можно выбрать лишь некоторые, например, [1 - 30], где в качестве примеров и анализа получаемых методами вариационного исчисления или с помощью гамильтонова подхода (в случае консервативных систем) уравнений, приводится аналитическое решение только линейных задач.
Современная физическая (да и математическая) наука постепенно становится нелинейной, если судить хотя бы по работам [31 - 55], в которых ставятся и решаются существенно нелинейные проблемы из различных областей физики, биофизики, химии, биологии. Это следует признать, как уже свершившийся факт, хотя, безусловно, существует еще и масса оригинальных проблем, которые можно решить чисто аналитическими методами.
Исследование любых нелинейных явлений (пусть даже в каком-то смысле и абстрактных!) уже само по себе представляется интересным и вдвойне интересным, если удается не только получать нелинейные уравнения динамики, по и проводить хотя бы приблизительный анализ их решений в отдельных частных случаях с предсказанием каких-либо новых свойств материалов.

Как было показано Лэмбом, уравнение (2.10) в стационарном случае, если скорость потока на бесконечности равна й, можно записать в виде
(и • V)? = + гДу. (2.13)

Направление движения потока выберем вдоль оси х. Тогда скорость и = 1и, где 1 - единичный вектор, направленный вдоль оси х.
Чтобы уравнение (2.12) удовлетворялось автоматически, выберем
компоненты скорости в виде

^ (2.14)

V,, -их - —, дх
где введена неизвестная пока функция / = /(х,у), которую нам следует
определить. Для компонент х — у из уравнения (2.13) имеем
I дР . - ч
г, ----------------------------(2.15а)
т дх 1 ду) ' р дх
(2Л56)
Если продифференцировать уравнение (2.15а) по у, а уравнение (2.156) по х, а затем вычесть одно из другого, то с учетом (2.14) сразу же получается уравнение на искомую функцию /(х,у):
д2 д2 Лд/ ( д2 д2 д
+ (ц—^ —- + н1 — = иД,/, (2.16)
дхду ду~ ) ду ^ дх дхду) дх
где Д2 =-^т + -^-г- двухмерный оператор Лапласа.
дх~ ду~
Если уравнение (2.16) обезразмерить, его левая часть окажется

пропорциональной числу Рейнольдса йе = —, где К - радиус цилиндра. При

относительно больших числах Рейнольдса, когда Яе > 1, будет иметь место случай, рассмотренный Лэмбом и Осееном. При этом следует решить линейное уравнение (2.16). Случай, который рассматривается нами, предполагает ламинарное обтекание цилиндра, что имеет место лишь в