Моделирование сферически-симметричных астрофизических объектов и их излучения в общей теории относительности

• Автор: Тегай, Сергей Филиппович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 115 с. : ил.

1 Моделирование звезд в общей теории относительности

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Уравнения Эйнштейна, описывающие

сферически симметричную модель звезды

1.1.2 Внешнее решение Вайдья

1.1.3 Внутренний тензор энергии-импульса

1.2 Процедура сшивки в общей теории относительности

1.2.1 Формализм сшивки Дармуа-Лихиеровича

1.2.2 Гравитационный коллапс пылевидной сферы

1.2.3 Формализм сшивки О’Брайена-Синга

1.3 Статические модели звезд в ОТО

2 Статические модели звезд в ОТО
2.1 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом последовательных приближений
2.2 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом Галеркина
2.3 Вычисление собственных частот малых адиабатических колебаний
2.4 Неадиабатические колебания
3 Моделирование излучающих объектов путем сшивки внешнего пространства Вайдья с различными внутренними пространствами
3.1 Сшивка внешнего решения Вайдья с точными
внутренними решениями для идеальной жидкости
3.1.1 Модель с однородной и постоянной плотностью
энергии
3.1.2 Модель с однородной, но переменной плотностью
энергии
3.2 Моделирование приповерхностного слоя звезды
3.2.1 Описание метода
3.2.2 Об отличии скорости жидкости на поверхности
сшивки от скорости самой поверхности
3.2.3 О связи между условиями сшивки Синга и Дармуа
3.2.4 Уравнения состояния и элементы термодинамики
идеальной жидкости
3.2.5 Модель с идеальной жидкостью и
линейным уравнением состояния
3.2.6 Пылевой предел
3.2.7 Постоянный радиус и постоянная светимость
Выводы
Литература

Гравитационная энергия нейтронных звезд и, в меньшей степени, белых карликов сравнима но величине с массой покоя составляющих звезду частиц. В строении и эволюции таких объектов большую роль играют релятивистские эффекты, поэтому при их моделировании используется общая теория относительности Эйнштейна. Полная релятивистская модель звезды должна описывать не только ее внутреннее строение, но и внешнее к звезде пространство, которое может быть заполнено как пустотой [1], так и излучением [2], или другим типом материи [3].
Здесь необходимо пояснить, что сами по себе уравнения Эйнштейна не описывают однозначно процесс эволюции звезд. Дело в том, что только левая, геометрическая часть этих уравнений может быть записана но строго определенным правилам. Правая же часть, содержащая тензор энергии-импульса звездной материи, существенно зависит от наших предположений о природе вещества, составляющего ту или иную звезду. В частности одной из наиболее сложных проблем оказывается выбор реалистичного уравнения состояния - соотношения между такими макроскопическими характеристиками звезд как давление, плотность и энтропия; соотношения, которое определяется, тем не менее, микроскопическими свойствами вещества.
В общем случае левая часть нелинейных уравнений поля содержит шесть независимых функций (десять компонент метрического тензора, четыре из которых не являются независимыми из-за свободы выбора координат, описывающих четырехмерное пространство-время). Общая задача чрезвычайно сложна, и не решена даже в отсутствие материальных источников. Таким образом, кроме предположения о тензоре энергии-импульса, описывающем источник гравитационного поля, необходимо сделать еще и некоторые упрощающие пред-

<2(х) = 0 + о((х - 1)к~2у, (2.37)
У(х) = 0 + о((х-1)к~2). (2.38)
Определяющее уравнение:
а(а — 1) + ка = 0; (2.39)
«1 = 0, (*2 = 1 — к. (2.40)
Если около поверхности шара 2 ~ (х — I)“2, то г' ~ (х — 1)~к и
Пт рог1 ф 0, так как ро ~ (х — 1)к. То есть, граничным условиям
х—*1
удовлетворяет только первый показатель

г=ЕЪАх-гу. (2.41)
з=о
Таким образом, граничное условие на поверхности выполняется для суммы (2.27). Для того, чтобы выполнялось и второе условие, необходимо, как мы видели, линейное поведение г(х) вблизи центра.

Это означает, что Ьо — — £ &/(—Я)3, а сам ряд (2.41) принимает вид

2 = Ь0 + Е ьз(х - I)-7 = Е ЬД(х - 1); - (-1)Д. (2.42)
.7=1 1
Поставленной задаче на собственные значения эквивалентен следующий вариационный принцип [122]: собственная функция г(х) уравнения (2.25) доставляет минимум функционалу
I(Р(х)г,2(х) - С^(х)г2(х)) с1х (2-43)

при условии

J ¥(х)г2(х) с1х = 1. (2.44)

Квадрат частоты здесь является множителем Лагранжа и его можно найти численно с помощью прямых вариационных методов [123]