Методы компьютерных исследований в нелинейных динамических системах

• Автор: Килин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 77 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1. Ограниченная задача трех тел в искривленном пространстве. Точки либрации
1.1. Введение
1.2. Задача двух тел в искривленном пространстве
1.2.1. Уравнения движения и первые интегралы
1.2.2. Инвариантные многообразия
1.2.3. Ограниченная задача двух тел
1.2.4. Частные решения задачи двух тел на 52 и Ь
1.2.5. Устойчивость частных решений задачи двух тел
1.3. Ограниченная задача трех тел
1.3.1. Точки либрации на сфере
1.3.2. Точки либрации на плоскости Лобачевского
1.3.3. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс
1.3.4. Малое отклонение от случая равных масс
1.3.5. Области Хилла
Глава 2. Устойчивость томсоновских конфигураций вихрей на сфере
2.1. Введение
2.2. Линейная устойчивость томсоновских конфигураций вихрей на сфере
2.3. Нелинейная устойчивость томсоновских конфигураций на сфере и
плоскости для N — 2,
2.4. Случай N = 7 на плоскости
2.5. Заключение
2.6. Построение нормальных форм в случае присутствия жордановых
клеток
2.6.1. Случай отсутствия жордановых клеток
2.6.2. Случай присутствия двумерных жордановых клеток
2.7. Приложение
Глава 3. Шар Чаплыгина
3.1. Введение
3.2. Уравнения движения и их интегрирование
3.2.1. Уравнения движения и интегралы
3.2.2. Интегрирование уравнений движения в случае нулевой константы площадей
3.2.3. Интегрирование уравнений движения в случае ненулевой константы площадей
3.3. Бифуркационная диаграмма, периодические решения и точка контакта
3.3.1. Случай (М, 7)
3.3.2. Случай (М, 7)
3.3.3. Случай М ||
3.4. Качение шара с гироскопом
Заключение
Литература

Введение
Данная работа посвящена исследованию динамических эффектов, наблюдаемых в консервативных динамических системах из различных разделов математической физики. В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится невозможным, как по техническим (громоздкость выкладок), так и по принципиальным соображениям (например, невозможность проинтегрировать в классе известных функций). Если с трудностями первого типа могут помочь справится современные системы аналитических вычислений (Maple, Matematica и др.), то вторая проблема разрешима только с помощью постановки численных экспериментов. С другой стороны чисто численное исследование также может осветить лишь некоторую часть проблемы. Поэтому для эффективного применения численных методов необходимо совмещать численный эксперимент с различными аналитическими методами исследования. Такой подход представляет возможность по новому взглянуть на уже известные результаты в теории динамических систем и получить более полное качественное представление о динамике систем. В данной работе было исследовано несколько задач небесной механики, вихревой динамики и динамики неголономных систем. С помощью совместного использования аналитических и численных методов были получены новые интересные результаты.
В первой главе диссертации исследуются частные решения задачи двух тел и ограниченная задача трех тел в пространствах постоянной кривизны. Изучение задач небесной механики в пространствах постоянной кривизны восходит к
Н. Лобачевскому, которым был установлен аналог ньютоновской силы притяжения для пространства L3. Свойства движения твердого тела на L2 были исследованы А. Е. Жуковским. Он заметил, что в отличие от плоскости центр масс в данном случае не движется по геодезической. Интегрируемость задачи Кеплера на S2 была установлена Шредингером, исследовавшим проблему квантования атома водорода в искривленном пространстве. Обобщение всех законов Кеплера для классической
Хилла лишь для некоторых областей диаграммы 13, которые представляют наибольший интерес как случаи существования устойчивых точек либрации.
На рисунках 14, 15 и 16 представлены области Хилла на 52 при значениях параметров, соответствующих областям I, III, IV на рис. 13 соответственно. Мелкие детали диаграмм вынесены на отдельные рисунки. Точки 1-5 на всех рисунках являются обобщением классических точек Лагранжа и Эйлера. Точки 6, 7 и 10 — новые коллинеарные точки, а 8 и 9 — новые лагранжевы точки. В области I (рис. 13) точка 6 является минимумом потенциальной энергии, точки 4 и 5 ее максимумами, а все остальные точки — седлами. При переходе границы между областями I и II рождаются еще 2 пары лагранжевых точек либрации, что однако не сказывается на устойчивости остальных точек. При переходе через границу II-III одна из вновь образовавшихся пар лагранжевых точек сливается с эйлеровской точкой и меняет ее тип на минимум эффективного потенциала. Таким образом, в области III существует две устойчивые точки 6 и 7. Далее при переходе границы Ш-ГУ эйлеровские точки 2 и 6 сливаются и исчезают, и в области IV остается одна устойчивая эйлеровская точка либрации.
Таким образом, наличие кривизны приводит к тому, что появляются новые эйлеровские точки либрации, которые при определенных параметрах, в частности областях I, III и IV (рис. 13), являются устойчивыми.