Модели негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией

• Автор: Видов, Павел Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Случайные блуждания: постановка и решение задачи
1.1 Предельный случай случайных блужданий - диффузия
1.2 Случайные блуждания при условии отсутствия второго и высших моментов функции распределения
1.3 Полеты Леви в физике
1.4 Случайные блуждания с непрерывным временем
Глава 2. Финансовые временные ряды: эмпирические данные
2.1 Автокорреляции на фондовых рынках
2.2 Автокорреляции модулей доходности на фондовых рынках
2.3 Функции распределения флуктуаций на фондовых рынках
Глава 3. Модели негауссовых случайных блужданий
3.1 Блуждания Леви
3.2 Усеченные блуждания Леви
Глава 4. Эмпирические исследования российского фондового рынка
4.1 Автокорреляции доходностей и волатильности на российском фондовом рынке
4.2 Функции распределения флуктуаций на российском фондовом рынке
4.3 Определение минимального масштаба случайного процесса на фондовом рынке
4.4 Модель негауссовых случайных блужданий с конечной дисперсией для флуктуаций на фондовых рынках
Заключение
Литература
Введение
Актуальность темы
Случайные блуждания являются очень удобным инструментом для описания физических процессов, динамика которых имеет стохастическую природу. Одним из наиболее распространенных физических примеров случайных блужданий является процесс переноса, возникающий в результате случайных блужданий молекул, известный как диффузия. По своей сути задачи о случайных блужданиях и диффузии являются эквивалентными. Случайные блуждания и диффузия исследуются уже более 100 лет и являются ключевыми составляющими теории стохастических процессов, которые находят применение в различных областях точных и социальных наук [43].
В последнее время все больший интерес вызывают исследования стохастических систем, не подчиняющихся гауссовой статистике. Такие системы не подчиняются классической центральной предельной теореме (ЦПТ). Основной статистической особенностью таких систем является существенно более высокая вероятность возникновения экстремально больших флуктуаций по сравнению с гауссовыми системами. Зачастую в таких случаях вместо классической ЦПТ возникает ее обобщенная версия, в соответствии с которой распределение суммы независимых случайных величин описывается семейством устойчивых распределений, относящихся к более широкому классу безгранично делимых распределений [68, 98]. В частности, к таким распределениям относится достаточно широко распространенное распределение Леви [51, 54]. Практически же даже более интересны случайные процессы, в которых ЦПТ все же выполняется, но выход на гауссову асимптотику происходит чрезвычайно медленно. В этом случае на физически интересных масштабах доминирует промежуточная асимптотика, отличная от гауссовой статистики пли статистики Леви.
Плотность распределения отдельных флуктуаций (прыжков) в негауссовых системах описывается распределениями Леви (полеты Леви) или другими функциями, не имеющими всех конечных моментов распределения. Негауссовы случайные блуждания наблюдаются, например, при транспорте зарядов на поверхности полупроводников [75, 76, 84], в лазерном
охлаждении методом селективного по скоростям когерентного пленения заселённостей [14], а также процессах диффузии в таких новых материалах, как, например, стекла Леви [18, 19] и целом ряде других физических систем [35, 42, 61, 95].
Необходимо отметить, что подобные процессы характерны и для большого количества нефизических систем. В частности, с ними можно столкнуться в биологических [26, 88, 91], социальных [17] и экономических системах (см., например [68]), которые, безусловно, требуют тщательного исследования в условиях современного мира.
В последнее время все большее внимание физиков, в том числе II в России, приковывают проблемы, не относящиеся к классическим разделам физики, решения которых требуют применения современных математического аппарата и физических методов. Например, к таким проблемам можно отнести экономические задачи (см. [2, 10, 53]) или даже проблемы дорожного трафика [59].
Экономические ряды, такие как изменения индексов, цен акций и производных инструментов или курсов валют возникают в результате взаимодействия большого количества агентов - участников финансовых рынков и представляют собой хороший пример естественной сложной системы. Известно, что приращения цен фондовых активов представляют собой случайные независимо распределенные величины, поэтому большинство используемых на практике финансовых моделей, описывающих динамику цен фондовых активов, основываются на представлениях о классическом гауссовом случайном блуждании цен. К таким моделям относятся базовые модели ценообразования опционов [22], модели

распространенных объектов исследований. На минутных данных в нем наблюдается время автокорреляции порядка 4 мин. (рис. 2.3), что, по всей видимости, связано с наличием корреляций между доходностями отдельных бумаг, входящих в состав индекса и инертностью релаксации кросс-корреляционных зависимостей хмежду ними. Таким образом,
автокорреляционный анализ показывает, что логарифмические доходности акций и фондовых индексов являются независимыми случайными величинами.
х (trading day)
Рис. 2.2. Функция автокорреляции дневных флуктуаций цены компании Coca-Cola на периоде 7/89-10/95. [68]