Механизмы ускорения Ферми в хаотических бильярдах с возмущаемыми границами

• Автор: Рябов, Алексей Борисович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Ускорение Ферми. Обзор основных моделей и известных результатов .
1.1.1 Классическая модель Ферми-Улама
1.1.2 Физический подход
1.1.3 Численные исследования
1.1.4 Математический анализ к решению задачи Ферми-Улама
1.1.5 Дальнейшее развитие модели Ферми-Улама
1.2 Бильярды
1.2.1 Критерии хаоса в динамических системах
1.2.2 Газ Лоренца
1.2.3 Бильярд типа стадион
1.2.4 Бильярды с возмущаемыми границами
2 Основные соотношения
2.1 Стохастически возмущенное отображение Улама
2.1.1 Коэффициент диффузии
2.1.2 Зависимость диффузии от интенсивности шума
2.1.3 Отображение Улама
2.1.4 Заключение
2.2 Общий вид отображения для хаотических бильярдов
2.2.1 Нормальные колебания
2.2.2 Продольные колебания
3 Ускорение Ферми в газе Лоренца [83—87,89]
3.1 Газ Лоренца
3.1.1 Газ Лоренца с неподвижной границей
3.1.2 Газ Лоренца с осциллирующими границами рассеивателей

3.1.3 Статистические свойства. Численный анализ
3.2 Ускорение Ферми
3.2.1 Среднее изменение скорости в общем случае
3.2.2 Стохастически возмущаемая граница рассеивателей
3.2.3 Периодически возмущаемые границы рассеивателей
3.2.4 Численные результаты
4 Фокусирующий бильярд [88,89]
4.1 Приближенное отображение. Граница часть параболы
4.1.1 Неподвижная граница
4.1.2 Подвижная граница
4.2 Граница дуга окружности
4.2.1 Неподвижная граница
4.2.2 Возмущаемая граница
4.3 Численное исследование
4.3.1 Фазовые портреты
4.3.2 Возмущенное отображение
Заключение
Литература

Глава
Введение
Понятие бильярда в теоретической механике и математической физике возникло после того, как Биркгоф [24] рассмотрел задачу о движении по инерции материальной точки в некоторой ограниченной области. Позже глубокие работы Н.С.Крылова [25], посвященные проблеме перемешивания в системе из упругих шаров, привели исследователей к необходимости рассмотрения задач бильярдного типа (см. [26,27,30,31]). Как известно, некоторые бильярды обладают хорошими статистическими свойствами, и поэтому являются достаточно удобными моделями ряда систем статистической механики. Более того, многим динамическим задачам могут быть поставлены в соответствие отображения для траектории частицы в бильярдах заданной формы [5,25,30-32].
Плоские бильярды с достаточно выпуклой наружу границей (например, в форме круга или эллипса) не обладают хаотическими свойствами и динамические системы, отвечающие им, являются полностью интегрируемыми. Бильярды же с вогнутыми внутрь компонентами границы характеризуются совершенно иными свойствами: динамика частицы там является неустойчивой и, более того, обладает свойствами перемешивания.
Множество популярных моделей механики, например газ Лоренца и газ твердых сфер (1-аз Больцмана) также могут быть представлены бильярдами определенной формы. Системы бильярдного типа также служат полезными моделями в акустике, оптике и в некоторых других вопросах, связанных с квазиклассическим приближением. Кроме того, бильярды представляют основные визуальные классы динамических систем, которые могут демонстрировать самое различное поведение: от интегрируемого до хаотического. Например, бильярды в форме квадрата, круга или эллипса обладают полностью интегрируемой динамикой. Бильярд типа стадион при

2.1.2 Зависимость диффузии от интенсивности шума
Теперь обратимся к исследованию зависимости коэффициента диффузии от соотношения между (тит. Отметим, что в выражении (2.10) величина т стоит под знаком косинуса, поэтому ее можно определять с точностью до 2тгп. при этом все рассуждения будут оставаться в силе.

Рис. 2.1: Зависимости коэффициента диффузии D от интенсивности шума а при ■различных временах г. т = 0.05, Т2 = 0.1, гз = 0.5. Для второго графика указана интенсивность шума, при которой диффуузия будет максимальной.
На рис.2.1 приведены зависимости коэффициента диффузии от интенсивности шума (а) при различных значениях времени свободного пробега т. Как следует из графиков можно выделить три области:
1. Динамика близкая к регулярной. Этот случай соответствует очень малым, возмущениям, которые практически не отражаются на динамике отображения. При этом а > 0. В случае а = 0 траектория частицы на фазовой плоскости {х,ф) ограничена инвариантными кривыми и дрейфа частиц нет. При с —> 0 D(r, g) —> 0.