Методы построения квантовых твистов

• Автор: Самсонов, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 71 с.

1 Построение квантовых аналогов для расширенных жордано-вых твистов
1.1 Квантование расширенных жордановых г—матриц
1.2 Квантовая алгебра Дринфельда-Джимбо ич(д)
1.3 Квантовый жорданов твист
1.4 Твист Креммера-Жерве и его специализация при
1.5 Квазиклассические твисты и некоммутативная геометрия
2 Квантовые аффинные твисты и их рациональный предел
2.1 Аффинизация д—твистов
2.1.1 Аффинный твист для 2)
2.1.2 Аффинный твист для ид(з13)
2.2 Рациональное вырождение
2.2.1 Рациональное вырождение
2.2.2 Рациональное вырождение
2.3 Квантование п < 4 обобщенных жордановых г—матриц
3 Заключение
Библиография

Основные определения и необходимые сведенья
§1. Роль R—матрицы в построении интегрируемых решеточных моделей и моделей спиновых цепочек
Переход от классических интегрируемых систем к квантовым в рамках квантового метода обратной задачи [19, 35] можно рассматривать как переход от классических г—матриц (со спектральным параметром) г : С -> gin дїп:
[г12{щ - и2), гіз(«і - н3)] + [гч2(гц - и2), r23(«2 - «з)]+
+ [Пз(«1 - «з), Г2з(и2 - Из)] = 0,

(гі2(н))ilkjmn — ^iljmi.u) ' $кпі (^1з(и))гД|^тп ^ікЦпі^) ' &Іт (?~2з(н))г7£|_/тп — rlkmn{u) ' &ijі
И (А ® — AijBkU
к их квантовым аналогам - решениям квантового уравнения Янга-Бакстера:
R2(u — И2)І?1з(иі— И3)і?23(и2 — Us) = Л23(и2 —и3)і?із(иі—М3)і?і2(иі—и2), (2)
где Rij(u) обозначают матрицы построенные из R(u) тем же способом, которым rij{u) строились из г (и).
R—матрицы позволяют строить одномерные и двумерные решеточные модели, устанавливая соответствие решеточных моделей статистической механики моделям спиновых цепочек. С точки зрения статистической механики

[2, 9,12], элементы Я—матрицы задают веса узлов решетки - болъцмаповские веса:
где каждой строке и каждому столбцу в двумерной М х N решетке, вообще говоря, приписывается свой спектральный параметр. В случае однородной модели все спектральные параметры считаются одинаковыми. Однако, варьирование по спектральному параметру представляет самостоятельный интерес и позволяет вычислять гамильтонианы соответствующих спиновых цепочек [12].
Накладывая периодические граничные условия:
можно выразить статистическую сумму модели Е через так-назы пае му ю трансфер-матрицу Т:
(М + 1) = 1, (ЛГ + 1) = 1,
Z = 1гу®*(1гуТ)м
где ПуТ задает вклад отдельной строки узлов решетки:
7.1 ?,<1 7о 1.кт о 7. лг_1 1кт
І1 І2 Із ІЛГ-2 ІіУ-1 ІА'
.7ЛГ

задает оператор:
Т : Ут ® V,

Доказательство. Рассмотрим ассоциатор Дринфельда:
Абзос(Ф) = Ф12(Д ® 1с1)(Ф)(1с1 ® Д)(Ф-1)(Ф-1)23
и ему эквивалентный ассоциатор
Аээо^ФД = (ш ® ш 0 ш)(Аб80с(Ф))(о;-1 0 ш-1 0 о;-1)
Ф^2(Д ® 1(1)(Фш)(1с1 ® Д)(Ф“1)(ФС;1)23.
Согласно (2.2):
Аб80с(Фы) = (п ® 1(1 ® 1с1) ( АвБО^Фц,)).
Тогда
А880С(ФШ)
Ас1(7г(ш) 0 о; 0 ог)(Ф|2 {(тг 0 1(1) о (Д 0 1с1)(Ф1)} (Д 0 1с1)(Ф2)х
Х(1с1 0 Л)(^21)($21)23(Ф1-1)23). Используя (2.1) и то что Ф2 твист, мы получаем А8зос(Фа;) = 10101. □
Свойство (2.2) может быть записано как равенство:
(ш 0 о^ФхФгД(ш-1) = (тг(и}) 0 ш)Фг(7Г 0 1с1) о Д(ш-1), (2.3)
которое может быть решено относительно Фу
Ф1 = (а;_17г(а;) 0 1<Т)Ф2 {(7г 0 1с1) о Д(а»-1)} Д(и>)Ф2
То есть задав и> удовлетворяющее (2.2), мы можем построить аффинный твист Ф^ для заданного постоянного (без аффинного параметра) твиста Фг-Мы назовем эту процедуру ш—аффинизацией и элемент и) аффинизатором: Пусть Т постоянный твист ид{51п) 0 [/^(в1п), то есть такой, что:
т е аду ® аду.