Методы компьютерных исследований некоторых динамических систем классической механики

• Автор: Тронин, Константин Георгиевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 82 с. : ил.

1. Вероятностные эффекты в динамике твердого тела
1.1. Задача о вращении твердого тела под действием суммы поф стоянного и диссипативного возмущающих моментов
1.2. Падение тяжелого твердого тела в идеальной жидкости. Вероятностные эффекты и притягивающие множества
1.3. Динамика саней Чаплыгина на наклонной плоскости
2. Уравнения Лиувилля. Адиабатический хаос
2.1. Гамильтоновы системы с полутора степенями свободы. Скачки адиабатического инварианта и адиабатический хаос
2.2. Динамика твердого тела с медленно меняющимися параметрами
ф 2.3. Расщепление сепаратрис и условия адиабатического хаоса
3. Численные методы в динамике вихрей и задачах рассеяния
3.1. Введение
3.2. Уравнения движения и первые интегралы для вихрей на сфере
3.3. Хореографии в движении трех и четырех вихрей на сфере
3.4. Хореографии те одинаковых вихрей
3.5. Возмущенное движение частиц жидкости в системе двух вихрей с противоположными интенсивностями
3.6. Задача о трех притягивающих центрах
4. Заключение

Во времена формирования и разработки общих принципов динамики твердого тела, в так называемый классический период, первостепенным по важности считалось нахождение случаев, фиксируемых ограничениями на параметры и начальные условия, явной разрешимости задачи в квадратурах; в современной терминологии — интегрируемых случаев.
Случаи интегрируемости обычно связывают с именами их первооткрывателей. Среди них — известные западные математики и механики — Г. Кирхгоф, А. Клебш, П. Аппель, Ф.Брун, В.Вольтерра, крупные достижения принадлежат русским ученым — А. М. Ляпунову, В. А. Стеклову,
Н. Е. Жуковскому, С. А. Чаплыгину. В этом смысле динамику твердого тела можно рассматривать, как область наиболее богатую содержательными задачами, составляющими «золотой фонд» современной динамики.
В классический период кроме нахождения первых интегралов особенно ценилось также получение явного решения в различных классах функций, в основном элиптических. Особых успехов здесь добились С. В. Ковалевская,
В. Вольтерра, Г. Альфан, и их техника до сих пор во многом является непревзойденной.
В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А .Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [1]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений.
Основные уравнения динамики твердого тела в общем случае также являются неинтегрируемыми, а значит обладающими сложным непредсказуемым поведением, изучение которого составляет предмет новой области исследований, называемой детерминированным хаосом. Систематически эффекты неинтегрируемости в динамике твердого тела обсуждаются в монографии В. В. Козлова [2]. Важное значение этой монографии состоит также в том, что в отличие от стремления классиков к получению явного решения, позволяющего мало что сказать о действительном движении системы, в ней поставлен вопрос о качественном анализе интегрируемых динамических сиНовый этап в развитии динамики твердого тела наступил с появлением компьютерной техники. В некоторм смысле, даже в анализе интегрируемой ситуации, для которой, в принципе, возможна полная классификация всех решений, компьютер открыл целую эпоху. Если ранее в исследовании интегрируемых систем преобладали аналитические методы, позволяющие получить явные квадратуры и геометрические интерпретации, то сочетание идей топологического анализа (бифуркационных диаграмм), теории устойчивости, метода фазовых сечений и непосредственной компьютерной визуализации «особо замечательных» решений способно вполне представить специфику интегрируемой ситуации и выделить наиболее характерные особенности движения. С помощью такого исследования стало возможным получить ряд новых результатов даже для такой, казалось бы, полностью изученной области (например, для волчка Ковалевской, Горячева—Чаплыгина, решения Бобылева-Стеклова). Дело в том, что эти результаты очень сложно усмотреть в громоздких аналитических выражениях. Доказательство этих фактов, видимо, может быть также получено аналитически, но уже после их компьютерного обнаружения. Примером того насколько могут быть громоздкими и трудоемкими аналитические выражения могут служить формулы для долготы и широты паралакса Луны, которые получил Ш.Делоне. Каждая формула размещалась на 200 листах печатного издания, и на их вывод Ш.Делоне потратил двадцать лет своей жизни [3]. Следует также особо отметить возможность анализа движения в абсолютном пространстве, при численном решении уравнений движения, который ранее практически вообще не производился.
Некоторые любопытные движения, имеющиеся у интегрируемых волчков, возможно, способны вызвать конкретные идеи по их практическому применению. Можно напомнить, что, например, открытый более столетия назад волчок Ковалевской до сих пор не нашел своего применения, именно потому, что о его движении, несмотря на полное решение в эллиптических функциях, было, практически, ничего не известно.
Компьютерные исследования заставляют во многом «произвести ревизию» и понять истинный смысл аналитических исследований. Если некоторые аналитические результаты — типа разделения переменных оказываются очень полезными для изучения бифуркаций и классических решений, то их дальнейшее «развитие» до получения явных квадратур (через 0-функции)
Мельникова. Если уравнения движения системы (52) записать в виде
д = ОД.ф)),
р = -^(р»&ОД>Ф)).
г — е,
(53)
где ф), -У(2) — периодические функции с периодом 2тт, то в расширенном фазовом пространстве отображение Пуанкаре задается сечением траекторий плоскостями z = zq + 2тт, пеК Согласно результатам [27] в первом порядке по е величина расщепления сепаратрис на плоскости сечения Пуанкаре одинакова вдоль почти всей сепаратрисы «замороженной» системы и зависит от параметра zq, определяющего сечение Пуанкаре. Эта величина пропорциональна адиабатической функции Пуанкаре—Мельникова
Л + ОО
MA(z0) =
Q~(po(t,z0),q0(t,z0),z0) - ^~{P(z0),Q(z0),z0)
dt, (54)
где (ро,Яо>2о) — решение для сепаратрисы «замороженной» системы. Гео метрический смысл функции (54) состоит в том, что [27, 34]

MA(z)
dz(z)’
(55)
где A(z) — площадь под сепаратрисой «замороженной» системы. Для того, чтобы в первом порядке сепаратрисы не расщеплялись, необходимо, чтобы A(z) = const для любого z.
Рис. 30. Фазовый портрет «замороженной» системы (53) при v = 0.1, т0 = 0