Квантовые симметрии фундаментальных физических моделей

• Автор: Сапонов, Павел Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Протвино
• Количество страниц: 159 с.

Содержание
Введение

1 Структура алгебры

1.1 Квантовая матричная алгебра: определение и примеры

1.2 Характеристическая подалгебра и функции Шура

1.3 Степени квантовых матриц

1.4 Тождество Гамильтона-Кэли для квантовой матричной алгебры

1.5 Структура характеристической подалгебры

1.5.1 Правило Литтлвуда-Ричардсона

1.5.2 Билинейные соотношения

1.5.3 Спектральные переменные и факторизация тождества Гамиль-

тона-Кэли
1.5.4 Спектральная параметризация характеристической подалгебры
2 Теория представлений алгебры уравнения отражений
2.1 Общая форма симметрии Гекке
2.2 Квазитеизориая категория 8У(К(т|„))
2.3 Деформационные свойства алгебры модифицированного уравнения
отражений
2.4 Структура твистованной биалгебры и теория представлений
2.5 Матричная структура и характеры центральных элементов
2.5.1 Тензорные степени базисного представления
2.5.2 ві-редукция
3 Квантовые многообразия
3.1 Квазиклассическое приближение: пуассонова структура алгебры уравнения отражений
3.2 Квантовые многообразия как фактор-алгебры
3.2.1 Квантовые многообразия в и(д1{т)п)
3.2.2 Квантовые орбиты при 7^

4 Квантовые дифференциальные операторы
4.1 Струкрура твистованных дифференциальных алгебр и теория представлений алгебры уравнения отражениий
4.2 Некоммутативные векторные поля, частные производные и инвариантные дифференциальные операторы
4.3 Пример: атом водорода в некоммутативном нространтсве
Заключение
Приложение А
Приложение Б
Список литературы

Введение
Первые примеры квантовых матричных алгебр возникли в основополагающих работах В. Дринфельда [9] и Н. Решетихина, Л. Тахтаджяна и Л. Фаддеева [83], где рассматривались алгебры квантовых функций на группах (в дальнейшем кратко именуемые RTT алгебрами). Вскоре после этого был введен в рассмотрение другой важный класс квантовых матричных алгебр (см., например, [57, об]) — так называемые алгебры уравнения отражения (кратко, RE алгебры или REA от английского термина “reflection equation algebra”). Общее определение квантовой матричной алгебры возникло при попытке дать RTT и RE алгебрам единое описание [42]. На первый взгляд такая идея не кажется естественной, поскольку теории представлений RTT и RE алгебр существенно различны. Однако, проведенные независимо исследования RTT [20, 98, 47] и RE алгебр [71, 79, 32] обнаружили замечательное сходство структуры этих алгебр и классической матричной алгебры. Как выяснилось, и для RE, п для RTT алгебр можно сформулировать некоммутативное обобщение теоремы Кэли-Гамплыона. Кроме того, в обоих случаях оказалось возможным определить понятие спектра для некоммутативной матрицы генераторов алгебры. На основе этих наблюдений определение квантовой матричной алгебры независимым образом воспроизводилось в работе [45]. Там же некоммутативная версия теоремы Кэлн-Гамильтона была доказана для общих алгебр GL(m) типа (см. [44, 45, 46]).
Опыт исследования квантовых матричных алгебр GL(m,) типа явился хорошей основой для дальнейших построений. В исследовании других серий квантовых матричных алгебр можно выделить два направлення — исследование семейств алгебр Геккевского типа и семейств алгебр типа Бирмап-Мураками-Вепнля (кратко БМВ алгебр). Отличие этих семейств заключается в том, что при построении квантовой матричной алгебры используются R-матрнчные представления различных фактор-алгебр групповой алгебры группы кос (соответственно, алгебры Гекке или алгебры Бирман-Мураками-Венцля).
Семейство алгебр БМВ тина содержит серии ортогональных и симплсктиче-ских квантовых матричных алгебр и нх суперспмметричные обобщения. Изучение БМВ случая начато в работе [74], где доказывается тождество Кэлн-Гамильтона н определяется спектр квантовых матриц для алгебр ортогональной и симплекти-ческой серий.
Семейство алгебр Геккевского типа включает общие линейные алгебры а также

где суммирование ведется по всем возможным наборам {к, в 1,..., а*}.
Воспользуемся известным детерминантиым представлением Якоби-Труди симметрической функции отвечающей разбиению А = (Ах,.... Ар) (см. [65]. раздел 1.3, соотношение (3.4))
Ял = бс4||Лд._+,||=1. (1.72)
Здесь натуральное число т > р. и компонентами матрицы в правой части служат полные симметрические функции (то есть, симметрические функции Щура, отвечающие однострочным диаграммам) /ц := $(г). Кроме того, но определению /;г := 0 при I < 0.
Подставив выражение (1.72) в левую часть (1.69) мы получим в обозначениях (1.70)
в№1‘Лм
Ар+х* Ар* 1
Аю* Ар—1»

Ар—/+2* Ар—1* I 1+
Ьр—1+1* Ьр—1*
I 1 +
Ьр—Т+1* —г*
г г +
Ьр—Г+1* Ь—Г* г г +
(1.73)
где символы А,,, := (Аг,/гг+1, Лг+2,. •.) отвечают строкам матрицы из формулы Якоби-Труди (1.72).
Преобразуем теперь правую часть выражения (1.73) с помощью соотношений Плюккерадля набора целых данных {к — 1,/д = г+1}. В данном случае болышш-С1 во слагаемых в формуле (1.71) зануляется, поскольку они содержат детерминанты матриц с совпадающими строками. Единственная пара ненулевых слагаемых возникает при значениях индекса суммирования йх = I и вх = г + 1. В результате мы приходим к равенству
Ар+Х*

Ар—1+2* Ар /*

кр-ы 1 +
• ■ • кр-т+и Нр—?чх* г г +
Ар—г+1* к—т* г г +

Ар+1*
Лр» . 1 .
. • - А.р_^2* кр—1* • • • Ар_г+1* А_г*
I I + 1 ... г г +
Ар—1+1* кр-и I 1 +
Ар—г+1* кк-г, г г +
(1.74)