Квазиклассическое описание процессов динамического туннелирования в многомерной квантовой механике

• Автор: Панин, Александр Григорьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Туннелирование с образованием сфалерона
1.1 Пример квантовомеханической модели
1.2 Зависимость вероятности перехода от квазиклассического параметра
1.3 Эксклюзивные туннельные переходы
1.4 Время туннелирования
Глава 2. Квазиклассическое описание туннелирования с образованием сфалерона
2.1 Вычисление полной вероятности перехода
2.1.1 Метод комплексных траекторий
2.1.2 Модифицированный метод
2.2 Однородное приближение
2.3 Эксклюзивные переходы
2.3.1 Эксклюзивные траектории
2.3.2 Вероятность эксклюзивных переходов
Глава 3. Туннелирование из начальных состояний с малыми значениями квантовых чисел
Глава 4. Квазиклассическое вычисление среднего времени перехода
4.1 Распределение вероятности по временам перехода
4.2 Одномерные процессы активации
4.3 Поведение функции распределения вероятности при больших временах перехода
4.4 Временные характеристики процессов туннелирования с образованием сфалерона
Глава 5. Квазиклассическое описание процесса хаотического туннелирования
5.1 Двумерная квантовомеханическая модель
5.2 Классические отражения
5.3 Надбаръерные отражения
5.4 Точные квантовомеханические вычисления
Глава 6. Пример системы с немонотонной зависимостью вероятности перехода от энергии
6.1 Описание модели
6.2 Классические отражения
6.3 Надбарьерные отражения
Заключение
Приложение А. Квазиклассическое выражение для вероятности туннелирования
Приложение В. Эволюция вблизи сфалерона
Приложение С. Квазиклассическая вероятность при малых значениях квантовых чисел начального состояния
Приложение Б. Вычисление распределения по временам туннелирования
в одномерной модели
Литература

Введение
Одним из наиболее распространенных непертурбативных процессов в квантовой физике является процесс туннельного перехода между состояниями, разделенными потенциальным барьером. Феномен туннелирования был открыт в 1928 году Г. А. Гамовым [1], который впервые получил решение уравнения Шредингера, описывающее переход частицы через энергетический барьер. Несмотря на то, что эффект туннелирования был открыт более 80 лет назад, туннельные процессы, в особенности процессы многомерного туннелирования, остаются чрезвычайно богатой темой для исследований [2-4].
Недавние исследования показали, что характеристики многомерных туннельных переходов существенно зависят от свойств, точнее, от степени «регулярности» классической динамики системы. В частности, выражения для туннельного расщепления энергетических уровней качественно различны в интегрируемых [5-9] и почти интегрируемых [10-16] моделях. Другим примером являются процессы туннелирования в нерегулярных (хаотических и смешанных) системах, которые в последние несколько десятилетий активно изучались как теоретически [17-32], так и экспериментально [33-39]. В перечисленных работах демонстрируется ряд свойств туннельных процессов в нерегулярных системах, которые не имеют «регулярных» аналогов.
Наиболее яркой особенностью туннельных процессов в системах с несколькими степенями свободы является наличие эффекта «динамического туннелирования» [40-42]. Данный эффект непосредственно связан с многомерной классической динамикой и отражает тот факт, что переходы могут быть классически запрещены даже в том случае, когда полная энергия системы превышает высоту эффективного потенциального барьера между начальными и конечными областями фазового пространства. На квантовом уровне вероятность таких переходов экспоненциально мала. Ясно, что процессы динамического туннелирования не имеют одномерных аналогов. Туннельные

сфалеронной орбите и поэтому сами являются нестабильными.
Неустойчивость комплексных траекторий приводит к серьезным трудностям квазикласспческого описания процесса. Наибольшее затруднение связано с вычислением предэкспоненциального множителя /-pot- Действительно, из выражения (2.9) следует, что АрЛ обратно пропорционален значениям линейных возмущений при I — Д Напомним, что д;с,'Е удовлетворяют задаче
Коши при I = 1г. Линейные возмущения на фоне нестабильной траектории содержат экспоненциально растущие моды и экспоненциально падающие моды. Таким образом, при Е > Ес, когда комплексная траектория проводит бесконечное время вблизи сфалеронной орбиты, формальное применение выражения (2.9) приводит к неверному результату Ар(Л = 0. Это означает, что формула (2.9) неприменима в случае сфалеронного туннелирования.
Идея модифицированного квазикласспческого метода впервые была предложена в работах [56, 60]. Данный метод по своей сути схож с методом ин-стантонов со связью [100].
Вычисление интеграла (2.2) для волновой функции конечного состояния будем производить в две стадии. Во-первых, вычислим вклад конфигураций, проводящих заданное время т в той! области конфигурационного пространства, где существенно взаимодействие частицы с потенциальным барьером. Затем проинтегрируем по всем г. На первом шаге процедуры получим граничную задачу для комплексной траектории с заданным т. Данная траектория стабильна и интерполирует между начальной и конечной областями фазового пространства. На втором шаге получим правильные выражения для экспоненты подавления Еярн и предэкспоненциального множителя Л ар/, вероятности сфалеронного туннелирования, проинтегрировав по т.
Введем функционал т = Дп£[ж], обладающий следующими свойствами. Во-первых, Т;п1 положителен для любой действительной траектории. Во-вторых, он конечен для действительных траекторий, интерполирующих между начальной и конечной областями фазового пространства, и бесконечен для