Исследование задач квантовой механики с помощью непрерывных дробей

• Автор: Тур, Эдуард Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
Введение
Часть 1. Цепные дроби.
1.1 Общие сведения
1.2 Цепные дроби и дифференциальные уравнения
1.3 Сходимость цепных дробей
Часть 2. Матрицы Якоби.
2.1 Общие сведения
2.2 Формула Стоуна
2.3 Достаточные условия сходимости нулей ортогональных полиномов первого рода к точным собственным
значениям оператора
Часть 3. Модель Джейнса-Каммингса без приближения вращающейся волны.
3.1 Модель Джейнса-Каммингса, как базовая модель
квантовой оптики
3.2 Учёт противовращающих слагаемых. Сведение
полного гамильтониана к якобиевым матрицам
3.3 Точное решение в одном частном случае
3.4 Спектр гамильтониана в общем случае. Асимптотика собственных значений
3.5 Временная эволюция квантовых амплитуд.
Численное решение
3.6 Динамика атома во внешнем поле. Предел сильного поля
Заключение
Список литературы

Введение
Центральными проблемами квантовой теории являются : определение спектра оператора энергии физической системы и определение временной эволюции её начального состояния. Под определением спектра здесь понимается как качественное, так и количественное его исследование. Основным методом приближённого количественного решения спектральной задачи является, как известно, теория возмущений [1, 2, 3, 4]. Теория возмущений заключается в том, что собственные значения и собственные функции раскладываются в ряды по возмущающему параметру и известно решение невозмущённой задачи. Аналогичные разложения пишутся и для состояния системы в произвольный момент времени. Однако, несмотря на то, что ряд теории возмущений можно, по крайней мере формально, написать всегда, далеко не всегда он имеет смысл, а если и имеет таковой, то не для всех значений параметра возмущения. Основополагающие исследования Реллиха, а затем Като [5] выявили глубокую связь сходимости рядов теории возмущений с характером спектра оператора в зависимости от параметра возмущения. В частности, они позволили установить аналитический характер зависимости собственных значений от параметра возмущения для определённых классов, вообще говоря, неограниченных операторов. Однако, в силу довольно сложной структуры рядов теории возмущений количественный (а тем более и качественный) анализ спектра оператора становится практически очень трудным, особенно при больших значениях параметра возмущения.
В настоящей работе рассматривается метод исследования спектра операторов определённого вида, не использующий теорию возмущений. Метод позволяет рассчитывать также и временную динамику физической системы. Рассмотрим кратко основные идеи и положения этого метода.
Пусть оператор А (в физических приложениях это гамильтониан системы) представлен в некотором базисе векторов {е„} в виде бесконечной трёх-

диагональной матрицы

во Ь0 0
Ьо «1 Ьг
0 ьі «2 ъ
0 0 Ьг аз

(Результаты естественным образом переносятся и на конечные трёх-диагональные матрицы). Матрица такого вида называется матрицой Якоби или якобиевой матрицей. Строго говоря якобиевой матрицей называется матрица такого вида, в которой элементы последовательности {6П} вещественны и положительны. Однако для вопросов, которые мы будем рассматривать, это не существенно, так как эти матрицы связаны унитарным преобразованием.
Возникает вопрос: насколько широк класс операторов, допускающих такое представление? На этот вопрос частично отвечает теорема Стоуна [6], которая утверждает, что любой самосопряжённый оператор с простым спектром представим матрицей Якоби. Однако далеко не всегда можно легко найти элементы матрицы для данного оператора. Фактически, проблема здесь заключается в подходящем выборе базиса для представления.
Отметим, что якобиева матрица может представлять и несамосопряжённый симметрический оператор с индексами дефекта (1,1) [6].
В силу простоты спектра самосопряжённого оператора, представимого матрицей Якоби, спектр оператора А определяется всего одним матричным элементом резольвенты этого оператора :
Я(Л) = (е0,(А-ЛЕ)-1 е„)
По аналогии со спектральной теорией оператора Штурма-Лиувилля [7], будем называть функцию Д(А) функцией Вейля.
Центральным пунктом в рассматриваемом методе является формула, даю-

Рассмотрим соответствующую функцию Вейля
R(Kg2)=--------------------------------------------------- (2-3.1)
9 °о_
00 ^ 9 у о

«1 — Л —■ ■ ■
(2 2 — А —
я3 - А
Мы можем рассматривать эту функцию как функцию двух переменных А и д2. При комплексном д оператор А становится вообще говоря несамосопряжённьш, однако для дальнейшего это не существенно. Преобразуем непрерывную дробь
(2.3.1) к виду, удобному для применения теорем пункта 1.
R(X,g2)=- С'о(А)
т , CiWg2 1+С2()д
Со(А) Сп(Х)д

(2.3.2)

где введены обозначения
Со(А) =
00 Л_А2 (2.3.3)
Сп{х) = -~ä) ’
Теперь можно применить к этой дроби теорему (1.3.6). Если выполняются

условия lim ап = ±оо , lim а Д- 4- ■ — С, то согласно формулам (2.3.3)

lim Сп(А) = lim --------------— =: —С < 0 , для любого А
п-+оо (й„_! — А)(й„ — А)
И следовательно, выполняется условие теоремы (1.3.6). По теореме (1.3.6), при д2 [1/4(7, оо) непрерывная дробь (2.3.2) сходится при любом вещественном А к аналитической функции переменной д2, которая может иметь особыми точками только полюсы. Но, полюс функции R(X,g2) по переменной д2 будет и полюсом (простым) этой функции по переменной А. В частности, при вещественном А и вещественном д (д2 ^ [1/4(7, оо)) это означает, что при п —► оо
р ( „2ч у' R(kg) . R(x 2 _у- Ыд)
Но тогда, можно выбрать невещественное А, при котором Rn(X,g2) также сходится. И по теореме (2.2.1) это имеет место для любого невещественного А и соответствующий оператор самосопряжённый.