Интегрирование геодезических потоков и релятивистских волновых уравнений на однородных пространствах

• Автор: Магазев, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

1 Функции Казимира и группы Ли с неполуотделимым пространством орбит

1 Орбиты коприсоединенного представления. Структура орбит

2 К-орбиты и дикие группы Ли

3 К-орбиты, однородные пространства и ^-алгебры инвариантных функций

2 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах

4 Метрики на однородных пространствах

5 Свойства геодезических потоков для центральных метрик

6 Построение канонического преобразования

7 Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах

7.1 Интегрирование геодезических потоков с О-инвари-антными метриками

7.2 Интегрирование геодезических потоков с центральными метриками

7.3 Геодезические потоки на однородных пространствах с биинвариантными метриками
8 Классификация четырехмерных однородных (^-пространств
с интегрируемыми геодезическими потоками

3 Гамильтоновы системы в вариациях и интегрирование уравнения Якоби на однородных пространствах
10 Гамильтоновы системы в вариациях
11 Геодезические потоки и уравнение Якоби на римановых многообразиях
12 Расширенные геодезические потоки на однородных пространствах с инвариантными и центральными метриками
13 Интегрирование геодезического потока и уравнения Якоби на плоскости Лобачевского
4 Интегрирование квантовых уравнений на однородных пространствах с центральными метриками
14 Квантовые уравнения на однородных пространствах с центральными метриками
15 Редукция квантовых уравнений на однородных пространствах
16 Интегрирование квантовых уравнений и вычисление функций Грина на однородных пространствах с центральными метриками
Заключение
Приложение
Библиография

Несмотря на впечатляющие достижения в области построения объединенной теории фундаментальных сил Природы, современная физическая наука на сегодняшний день не имеет полной и удовлетворительной теоретической картины, способной единым образом описывать все существующие виды взаимодействий. Как известно, наибольшие сложности связаны с проблемой построения логически замкнутой теории квантовой гравитации, что объясняется существенной нелинейностью классических уравнения гравитационного поля, полученных в рамках общей теории относительности. В течение достаточно длительного периода времени предпринимались многочисленные усилия в этом направлении, но непротиворечивой схемы квантования гравитационного поля и удовлетворительного включения гравитации в другие виды взаимодействий до сих пор не существует. Тем не менее, отсутствие на сегодняшний день полной и логически законченной квантовой теории гравитации не лишает возможности исследовать влияние гравитационного поля на отдельные квантово-полевые эффекты в рамках так называемой квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени.
Математически задача исследования квантово-полевых эффектов в искривленном пространстве-времени представляет собой некоторое приближение к пока не созданной квантовой теории гравитации, при котором гравитационное поле рассматривается как классическая фоновая метрика пространства-времени, а материальные поля представляют собой стандартные квантованные объекты (однопетлевое приближение) [1-4]. Исходя из подобной постановки задачи, уже на первоначальном этапе можно выделить круг особо важных и актуальных вопросов, без разрешения которых немыслимо успешное развитие данного формализма. В частности, к подоб-

Приведем нетривиальный пример. Рассмотрим неразрешимую пятимерную группу Ли G, являющуюся полупрямым произведением двумерного коммутативного идеала и трехмерной простой группы. Алгебра Ли Q группы G имеет следующие ненулевые коммутационные соотношения:
[е,Єі] — —Єі, [еі,Єб] = Є2, [е2,Єз] = Єі, [Є2, Є4] = Є2,
[ез,е4] = —2е3, [е3,е5] = е4, [е4,е5] = —2е5.
Нетрудно проверить, что г = ind Q = 1.
Структура классов К-орбит данной группы дается следующими соотношениями:
0° = {Р Є д* I К(Р) = РгР2РА + Р?Р5 - РЇР, = щ°; ->(Рі = Р2 = 0)},
01 = {Р є Є* I Pi = P2 = 0; КНР) - P| + 4P3P5 = w1; -(P = 0)},
02 = {Pee* I P = 0}.
Пусть M — G/H — четырехмерное однородное пространство с одномерной подгруппой изотропии Н. С данной группой преобразований существует три неэквивалентных одномерных подалгебры изотропии Ті: span{ei}, span{e4} и spanjes}, а, следовательно, существует три неэквивалентных четырехмерных однородных пространства.
Пусть одномерная подалгебра Ли Н порождается вектором Є5. Соответствующее однородное пространство невырожденно iM = sm = 0, из формул (3.12), (3.17) и (3.19) находим, что dim^F = 3, ind J- = 1, d(M) = 1. Таким образом, пространство М некоммутативно, алгебра инвариантных функций Р имеет три порождающих, допускает одну независимую функцию Казимира и произвольная G-инвариантная гамильтонова система на Т*М интегрируема в квадратурах, но не в классе интегралов Нетер.
Введем локальные координаты х на группе Ли G:
д = ехр(х5е5) ехр(х4е4) ехр(х3е3) ехр(х2е2) exp(xiej).
В этих координатах функции Х(х,р) и L(x,p) имеют следующий вид (по поводу построения операторов Хд(х, дх) по структурным константам ал-