Динамика ориентированного графа в модели Соркина-Финкельштейна

• Автор: Круглый, Алексей Львович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Цель работы

Структура диссертации

Глава 1. Модель дискретного пространства-времени

1.1. Дискретные причинно-следственные связи

1.2. Дуализм вершин и ребер

1.3. Бинарная структура

1.4. Физическая интерпретация

I Глава 2. Стохастическая динамика

2.1. Объект и наблюдатель

2.2. Две динамики

2.3. Динамика последовательного роста

2.4. Элементарные продолжения
2.5. Вероятности элементарных продолжений
Глава 3. Амплитуды пар ребер
3.1. Амплитуды вероятностей элементарных продолжений
3.2. Квант разности фаз
3.3. Матрица амплитуд вершин
3.4. Операторы внешних ребер и причинности
3.5. Матрица амплитуд ребер
3.6. Константы модели
Глава 4. Модель элементарной частицы
4.1. Интерференция амплитуд
4.2. Вектор состояния ребра
4.3. Ограниченные векторы состояния и системы отсчета
4.4. Уравнение Дирака
4.5. Масса ребра
Заключение
3-1. Этапы исследования
3-2. Обзор результатов
Список литературы

Одной из важнейших проблем современной теоретической физики является построение квантовой теории пространства-времени. Возможным путем решения указанной проблемы является полный отказ от модели пространства-времени как непрерывного многообразия и замена его некоторой дискретной структурой. В настоящей работе исследуется гипотеза о том, что пространство-время на микроуровне имеет структуру ориентируемого графа. Основные результаты настоящей диссертации изложены в работах [1-4].
Гипотеза о дискретной структуре пространства, времени и движения высказывалась еще в античности. Эту гипотезу рассматривал и отверг как абсурдную Аристотель [5]. Основные работы сторонников гипотезы, по-видимому, утрачены. Из дошедших до нас источников свойства дискретного движения в дискретном пространстве упоминаются в письме Эпикура Геродоту [6] и в поэме Лукреция "О природе вещей" [7, стихи 238-239, 312-332]. Подробное исследование истории гипотезы о дискретном пространстве от античности до середины прошлого века представлено в книге [8].
Возрождение интереса к гипотезе дискретного пространства и времени связано с появлением квантовой теории. Пуанкаре в шестой главе книги "Последние мысли" [9, с. 643] сделал предположение, что вся Вселенная совершает квантовые скачки из одного состояния в другое. Между скачками Вселенная неподвижна, то есть время течет прерывисто.
В квантовой физике физические величины, принимающие дискретный набор значений, описываются, как собственные значения соответствующих операторов с дискретным спектром. Поэтому, логично попытаться аналогичным образом описать дискретную геометрию пространства-времени. Первая такая попытка основана на форме Фока-Иваненко
с1я = уас1ха, (В.1)
где Лха дифференциалы координат, а у“ - матрицы Дирака. Таким образом, интервал (А является не числом, а матрицей четвертого порядка,

то есть оператором [10]. Эта линейная форма принята вместо квадратичной формы ^сЬС'Лх где ^ - метрический тензор, по аналогии с линейным уравнением Дирака, записанным вместо квадратичного уравнения Клейна-Гордона. 16 компонент матрицы сЬ трактовались, как возможные расстояния между двумя комплексными точками [11]. Данный подход развит в ряде работ, из которых наиболее детально разработан вариант Мимуры и Моринаги, названный авторами "волновой геометрией" [12, 13] (и последующие работы). Существенных результатов, как в рамках волновой геометрии, так и в других вариантах квантования интервала на основе формы Фока-Иваненко не достигнуто.
Другой подход, предложенный Снайдером [14], основан на рассмотрении координат ха, как операторов смещения в искривленном пространстве импульсов. Наиболее прямой путь к построению этих операторов исходит из ограничения, накладываемого на квадрат импульса, то есть гипотезы максимального импульса. При. этом операторы пространственных координат имеют дискретные спектры, а оператор временной координаты имеет непрерывный спектр. Описанный подход был развит в многочисленных последующих работах, в которых исследовались частные случаи, математические аспекты, возможные обобщения, в частности различные варианты искривленного пространства импульсов. Обзоры этого направления содержатся в книгах [8, 15].
Более предпочтительным представляется подход, в котором дискретная структура пространства времени задается изначально. После открытия Гайзенбергом соотношений неопределенности была предложена решеточная модель пространства-времени [16, 17], при этом величины Ах, Ар, Аt, АЕ в соотношении неопределенности Гайзенберга предлагалось рассматривать как постоянные решеток. Характерно, что наряду с дискретным пространством-временем вводится и дискретное импульсноэнергетическое пространство. Различным вариантам решеточных и ячеистых структур пространства-времени посвящено большое количество работ, например [18 - 26], и многие другие.
Существенной особенностью решеточного подхода является вопрос о группе симметрии дискретного пространства-времени и соответствии между этой группой и локальной Лоренц-инвариантностью пространства-

Заменим условие нормировки (2.6) на условие:
Е (а- ß} = M-2 > (2-15)
а=1 ß где символ р. в обозначении вероятности указывает на изменение нормировки, то есть через Р {а, ß} обозначена вероятность элементарного продолжения, образованного внешними ребрами а и ß, и нормированная условием (2.15). Условие нормировки (2.15) выполняется, если по определению
Рц{сс, ß} = р2Р{а, ß} . (2.16)
Назовем эту вероятность приведенной вероятностью. Для достаточно больших КОАБГ она описывает свойства внешних ребер вне зависимости от размеров рассматриваемого КОАБГ.
Другим полезным условием нормировки является условная вероятность элементарного продолжения для пары внешних ребер а и ß при условии, что ребро а участвует в элементарном продолжении:
Р{а, ß|cc} = Р{а}-' Р{а, ß} . (2.17)
Соответственно эта вероятность нормирована условием:
£ Р{а, ßjoc} = 1 . (2.18)
Количество информации 1{а, (3}, получаемой наблюдателем в результате элементарного измерения, определяется стандартной формулой теории информации [87]:
7{а, ß} = - log2 Р{а, ß} ,
(2.19)