Динамика двумерных бильярдов с зависящими от времени границами на плоскости и на сфере

• Автор: Акиншин, Леонид Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с. : ил

1 Введение
2 Элементы теории бильярдных динамических систем
2.1 Двумерные системы бильярдного типа
2.1.1 Понятие бильярда
2.1.2 Развитие хаотичности в плоских двумерных бильярдах и некоторые их свойства |51,52|
2.2 Хаотичность динамических систем
2.2.1 Основные критерии хаотичности
2.3 Исследование динамических свойств бильярдных систем на основе анализа динамики узких пучков траекторий
2.3.1 Основные понятия
2.3.2 Гиперболичность
2.3.3 Экспоненциальное разбегание близких траекторий
3 Динамика бильярдов с возмущаемыми границами и проблема ускорения Ферми [85,234,23б|
3.1 Введение
3.2 Газ Лоренца
3.2.1 Газ Лоренца с неподвижной границей
3.2.2 Газ Лоренца с осциллирующими границами рассеивателей
3.3 Ускорение Ферми
3.3.1 Средее изменение скорости в общем случае
3.3.2 Стохастически возмущаемая граница рассеивателей
3.3.3 Периодически возмущаемые границы рассеивателей
3.3.4 Численные результаты
3.4 Основные выводы

4 Экспоненциальное разбегание близких траекотрий в бильярдах с возмущённой границей
4.1 Динамика узких пучков траекторий в бильярдах с подвижной границей
4.1.1 Возможность регуляризации хаотической динамики
5 Сферические бильярды: гиперболичность и экспоненциальное раз-бегание близких траекторий
5.1 Понятие сферического бильярда. Некоторые свойства сферических бильярдов
5.2 Динамика узких пучков траекторий в сферических бильярдах
5.2.1 Введение
5.2.2 Гиперболичность
5.2.3 Экспоненциальное разбегание близких траекторий
Заключение
6 Литература

Глава
В настоящее время не вызывает сомнений, что хаотическое поведение есть типичное свойство многих физических систем. Теория возмущений, считавшаяся едва ли не универсальным инструментом, столкнулась в начале XX века с огромным количеством неразрешимых нелинейных задач. Вначале подобные задачи были связаны лишь с традиционной нелинейной механикой (например, задачей трех тел, описанием волн на поверхности жидкости и т.п.). Но вскоре нелинейные проблемы вышли на первый план даже в таких областях, как акустика, физика твёрдого тела, статистическая физика и др. Кроме того, принципиально нелинейные задачи стали возникать в зарождающейся радиотехнике, а также в других прикладных отраслях.
Исследования последнего времени (как аналитические, так и численные) показали, что основной причиной, приводящей к хаотизаци динамики той или иной системы, является чуствительность этой системы к начальным условиям. Непредсказуемость поведения, таким образом, оказалась не связанной с действием каких-либо априори случайных сил, но кроется во внутреннем свойстве системы приобретать при определённых значениях параметров чуствительность и, как следствие, неустойчивость траекторий. Было показано, что экспоненциально сильная чуствительность к начальным условиям и связанная с ней сложность поведения типичны, т.е. характерны для очень многих физических систем. Практически во всех нелинейных системах с числом степеней свободы большем двух может быть обнаружено сложное поведение. Хаотическая динамика проявляется и в лазерах, и в сердечной ткани, и в электронных цепях, и в жидкостях (турбулентность),/и в химических реакциях и т.п.
Обнаружение большого числа нелинейных систем со сложным поведением послужило причиной не только развития соответствующих областей физики, химии

чем ”медленная”). В данном разделе сперва обсуждается вопрос о среднем изменении скорости в бильярдах произвольной формы с возмущаемыми границами, затем исследуется проблема ускорения Ферми в газе Лоренца с хаотически и регулярно осциллирующими рассеивателями.
3.3.1 Средее изменение скорости в общем случае
Рассмотрим два последовательных столкновения шара со стенкой в бильярде произвольной конфигурации. Обозначим через Оо угол падения частицы при первом соударении, а через оц - при втором (они вводятся точно так же, как в пункте 3.2.1). Кроме того, пусть vo и г>1 обозначают модули скоростей шара перед первым и перед вторым столкновениями соответственно. Для проекций скоростей используем следующие индексы: верхние индексы тип обозначают тангенциальную и нормальную проекции соответственно, первый нижний индекс соответствует индексу скорости, второй полагается равным 1, если рассматриваются проекции перед столкновением, и 0, если после него. Таким образом, и[0 будет обозначать тангенциальную проекцию скорости Vi в точке первого столкновения, a vi - тангенциальную проекцию в точке второго столкновения; в общем случае они не равны. Пусть u(t) - скорость движения границы. Очевидно, что должно выполняться соотношение
«>)>, = 0 , (3.8)
являющееся следствием того, что граница в среднем остается на месте.
Рассмотрим одно столкновение частицы со стенкой. Тангенциальная составляющая скорости при этом, очевидно, останется постоянной. Изменение же нормальной составляющей нетрудно найти, переходя в систему отсчета, связанную со стенкой. Таким образом, для первого столкновения можно записать
V10 = ~и01 + 2w(*n) = _,уо cosao + 2u(tn) ,
V10 = V01 - v0 sin oco , . (3.9)
W1 = V^o - 4vow(*n) + 4ti*(fn)
Легко видеть, что если рассматривать только одно столкновение, то (Aw[0) = 0 и (Дг”0) = 0 для бильярда любой конфигурации. Кроме того, изменение скорости связано только с изменением ее нормальной компоненты, поскольку тангенциальная составляющая сохраняется при отражении. Следовательно, средний прирост скорости