Геометрия супергравитации и суперкалибровочных теорий

• Автор: Рослый, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 143 c. : ил

ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЯ СУПЕРГРАВИТАЦИИ

§1.1. Поле супергравитации как правильная

поверхность в комплексном пространстве

§ 1.2. Формулировка супергравитации на основе

понятия индуцированной геометрии

§ 1.3. Переход к формулировкам типа Весса-Зумино

§ 1.4. Функционал действия в супергравитации

Глава II. СУПЕРГРАВИТАЦИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 2.1. Теорема об индуцированной геометрии

§ 2.2. Доказательство теоремы

§ 2.3. Применение теоремы: вывод условий на кручение и кривизну в супергравитации

Глава III. СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ ТЕОРИЯ ЯНГА-МИЛЛСА И ТВИСТОРЫ § 3.1. Суперсимметрия при А/-1 и индуцированная
геометрия
§ 3.2. Связи как условия интегрируемости
§ 3.3. Твисторная интерпретация
Глава IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ § 4.1. Общие условия на исходную четырехмерную
метрику
§ 4.2. Получение решений уравнений ЭйнштейнаМаксвелла
§ 4.3. Случай скалярного поля
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Идея единой физической теории выглядит очень естественно, и, вместе с тем, построение такой теории означало бы более глубокое понимание на основе единых принципов уже известных и, быть может, новых физических явлений. В настоящее время интерес к этой проблеме возрос в связи со значительными успехами в построении единой теории слабых, электромагнитных и сильных взаимодействий. Основой этого объединения является принцип локальной симметрии.
В последние годы выявилась возможность более полного объединения фундаментальных взаимодействий на основе суперсимметрии /1-5/ Было обнаружено, что частицы с различной статистикой (бозоны и фер-мионы) могут вместе образовывать мультиплеты некоторой группы, называемой группой суперсимметрии. Из-за связи спина со статистикой алгебра такой группы должна включать спинорные генераторы, которые отвечают преобразованиям, перемешивающим бозоны и фермионы, а определяющие соотношения для этих генераторов должны содержать антикоммутаторы. Простейшие группы суперсимметрии являются расширением группы Пуанкаре. В этом случае алгебра суперсимметрии содержит генераторы группы Пуанкаре, подчиняющиеся обычным коммутационным соотношениям, а также спинорные генераторы О ы.1 , Ор } =
-1,2 у I ^ ~ 1 удовлетворяющие соотношениям
так как при /V > (I)
Ры тРа ’ор. Число спинорных генераторов /V может быть, по-видимому, не больше восьми,

Ра - генерато-

Интересно, что если, доверяя хорошо себя зарекомендовавшему принципу, потребовать, чтобы суперсимметрия была локальной симметрией, то в теорию с необходимостью приходится включить и гравитационное поле. ( В некотором смысле это соответствует локализации пространственной симметрии, а необходимость такой локализации видна из соотношений (I) для генераторов суперпреобразований.) Теория с локальной суперсимметрией называется супергравитацией / 6 - 8 /. При А/ - 1, например, супергравитация описывает супермультиплет, состоящий из частицы спина 2 (гравитон) и частицы спина 3/2 (гравитино). Эти частицы могут взаимодействовать с частицами других супермультиплетов. Наиболее полное объединение достигается при А/= 2 , когда все частицы входят в один супермультиплет, содержащий один гравитон, 8 гравитино, 28 векторов, 56 спиноров и 70 скляров.
Суперсимметричные теории и, особенно, супергравитация устроены довольно сложно: тем сложнее, чем выше А/ . Это связано как с большим числом полей, так и с тем, что преобразования суперсимметрии для этих полей имеют сложный вид. Значительного упрощения можно достичь, в случае если теорию удается сформулировать в суперпространстве. /9/. Суперпространство получается из обычного пространства-времени, если к четырем координатам се °~ являющимся коммутирующими числами, добавить "фермионные" координаты 9Ы1 > 9°*1 ( здесь 9^с “ С 0Ыс)*), которые являются антикоммутирующими числами ( нечетные элементы некоторой произвольной алгебры Грассмана). Суперполя - это функции сс и 9,9 . Переход к обычной теории поля осуществляется при помощи разложения суперполя в ( конечный ) ряд по степеням антикоммутирующих переменных. Коэффициенты этого разложения, являющиеся функциями ос , и есть обычные поля. Под. действием преобразований из группы Пуанкаре эс.л преобразуются, как обычно, а

(2^ ^структуры. Условия первого и второго порядков равносильны определенным ограничениям на кручение и кривизну в (2 ^структуре. Возможна ситуация, когда условия более высоких порядков тривиальны. Это всегда имеет место, например, в классической задаче об индуцированной римановой метрике на поверхности в евклидовом пространстве. Возникающие в этом случае необходимые и достаточные условия, как известно /54/, даются уравнениями Гаусса-Кодацци.
Это утверждение является частным случаем сформулированной выше теоремы (см.Приложение). По счастью, в /V ~ 1 супергравитации также будет достаточно рассматривать условия только первого и второго порядков.
§ 2.2. Доказательство теоремы.
Здесь мы дадим окончательное доказательство теоремы, сформулированной в предыдущем параграфе. При этом будем использовать также определения и различные факты о формальных свойствах нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных,, когомологиях Спенсера и т.п., собранные в Приложении. Напомним, что рассматриваемая теорема предназначена для описания условий, необходимых и достаточных для индуцированной структуры. Как мы видели, эти условия равносильны условию совместности определенной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Целью теоремы является дать удобное описание этих условий совместности. Прежде чем завершить доказательство, намеченное в предыдущем параграфе, исследуем упомянутую выше систему дифференциальных уравнений при помощи прямых общих методов, описанных в Приложении.
При рассмотрении индуцированных структур мы должны задать векторное пространство л/ , подгруппу <5- группы линейных преобразований )л/ , а также подпространство ~[2 в Й/.