Вероятностные и когомологические характеристики квантовых динамических систем

• Автор: Амосов, Григорий Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 212 с.

Оглавление
Введение

1 Квантовые томограммы и их динамика

1.1 Общая статистическая модель квантовой механики

1.2 Стандартная статистическая модель квантовой механики

для случая гильбертова пространства

1.3 Квантовая механика и оснащенные гильбертовы пространства

1.4 Томографическое представление квантовой механики

1.5 Вероятностные меры, связанные с возбужденными и когерентными состояниями квантового осциллятора

1.6 Параметрический осциллятор и связанные с ним распределения вероятностей

1.7 Эволюционное уравнение для характеристических функций в линейном случае

1.8 Нелинейное эволюционное уравнение
1.9 Квантовая томография для большого числа степеней свободы. Центральная предельная теорема
2 Марковские коциклы в одночастичном гильбертовом пространстве
2.1 Коциклы однопараметрических групп
2.2 Общие свойства марковских коциклов
2.3 Разложение Вольда. Классические процессы с некоррелированными приращениями

2.4 Модель унитарного марковского коцикла группы сдвигов
2.5 Существование и единственность дилатации
2.6 Возмущения оператора сдвига операторами класса со следом и класса Гильберта-Шмидта
2.7 Коциклические возмущения группы сдвигов на прямой
2.7.1 Постановка задачи
2.7.2 Теорема о триангуляции усеченного сдвига
2.7.3 Доказательство теоремы
2.7.4 Неконструктивное улучшение результата
2.8 Уравнение марковского коцикла группы сдвигов в модельной ситуации
2.9 Марковские коциклы, порождаемые оператором Шредин-гера с вырождением на двух полупрямых
2.9.1 Постановка задачи
2.9.2 Основные результаты о корректной разрешимости
вырожденной задачи
2.9.3 Унитарные марковские коциклы, порождаемые задачей (2.9.1),(2.9.2)
Квантовый белый шум над алгеброй и его возмущения марковскими коциклами
3.1 Классические и квантовые случайные процессы, порождаемые ими фильтрации и марковские коциклы
3.2 Броуновское движение и марковские коциклы группы сдвигов на прямой
3.3 Эквивалентность мер и квазиэквивалентность состояний
3.4 Алгебра канонических коммутационных соотношений в симметричном пространстве Фока. Квантовый белый шум
3.5 Вполне недетерминированные квантовые стохастические процессы и колмогоровские потоки
3.6 Представление функционалов от случайного процесса в виде кольца когомологий. Квантовый белый шум
3.6.1 Винеровский процесс
3.6.2 Квантовый белый шум
3.7 Марковские коциклы квантовых белых шумов
3.8 Уравнение марковского коцикла, полученного вторичным квантованием, в модельной ситуации
4 Квазисвободные эволюции на алгебрах канонических ан-
тикоммутационных соотношениях и на алгебре квадрата
квантового белого шума
4.1 Построение алгебр фон Неймана, отвечающих физическим системам
4.2 Квазисвободные эволюции на алгебре канонических анти-коммутационных соотношений (КАС)
4.2.1 Антисимметричное пространство Фока. Алгебра канонических антикоммутационных соотношений . ,
4.2.2 Расширение на В(Н) квазисвободных автоморфизмов гиперфинитных факторов фон Неймана Л4 С В(Н), порожденных алгеброй КАС
4.2.3 Коциклические возмущении колмогоровских потоков на гиперфинитных факторах, порожденных алгеброй КАС
4.3 Квазисвободные эволюции на алгебре квадрата квантового
белого шума
4.3.1 Метод Шурмана построения квантовых случайных процессов с независимыми приращениями
4.3.2 Квадрат квантового белого шума и его представления
4.3.3 Эндоморфизмы алгебры квадрата квантового белого шума
4.3.4 Состояния КМШ, связанные с квазисвободными эволюциями на алгебре квадрата квантового белого шума
5 Квантовая передача информации
5.1 Передача информации через бесконечномерный квантовый
канал

Определим множество характеристических функций распределений ш(д, м, X), определенных формулой
Р(к,ц,и) = Рр{к,/л,и) = I е1кХилр(Х,/л, у)(1Х = Тг{ре{к+1). (1.4.7)

Введенная функция обладает свойством
Р(~, Ац, и) - Р(к, д, и). (1.4.8)
Свойство (1.4.8) отвечает свойству однородности томограмм. Заметим, что можно восстановить ш(Х, д, м) по П(&, д, и) следующим образом
ъ>р(Х,р,1/) = ~ ! е~1кХР(к,ц,1/)йк.

Квантовая томограмма сопостовляет оператору плотности некоторый набор распределений вероятностей, по которому оператор плотности полностью восстанавливается. Для построения полного томографического представлением квантовой механики, нужно расширить такое отображение на все наблюдаемые. При этом каждой наблюдаемой а должна быть сопоставлена функция /а(X, д, м), совпадающая с квантовой томограммой в случае, если а - оператор плотности. Кроме того, нужно ввести "звездочное произведение"([183]), отвечающее операторному произведению в таком представлении. Положим х = (X, д, и) и введем 1а(х) = /а(Х,Ц,и) ПО формуле ([174])
/а(ж) = Тг(а6(Х - дж - ир)),
так что
/й*/&(®) = [ К(х1,Х2,х)/а(х1)ь(х2)<Х1(1х2, (1.4.9)
где ядро К(х 1,Ж2,ж) может быть представлено в виде
К(х 1, ж2,ж) = Тг(£)(ж1)П(ж2)5(Х — дх — мр)), причем ей: = dXd.iiйи. Здесь оператор -П(ж) определяется формулой