Асимптотика дискретного спектра в некоторых квантовомеханических задачах

• Автор: Солнышкин, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 74 c. : ил

ГЛАВА I. ОДНОМЕРНЫЙ ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА

§ I. Оценки для нижней границы спектра при суммируемом

потенциале

§ 2. Асимптотика собственных чисел при стремлении

потенциала к несуммируемому

§ 3. Доказательство теоремы І.І

§ 4. Доказательство теорем 1.2, 1

§ 5. Вспомогательные оценки

ГЛАВА II. АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА ПРИ НАЛИЧИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И ОДНОРОДНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ

§ б. Основные результаты

§ 7. Предварительные оценки

§ 8. Доказательство теорем 2.1 - 2.4
ГЛАВА III. АСИМПТОТИКА СПЕКТРА МНОГОМЕРНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
ПРИ УБЫВАЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
§ 9. Основные результаты
§ 10. Предварительные оценки
§ II. Обоснование теории возмущений
§ 12. Асимптотика средней поправки к спектру
ДОПОЛНЕНИЕ
1. О вычислении интегралов вида (ҐПІ) *сИ •
ік+
2. Формула для диагонали ядра спектрального проектора оператора -А + 1х(2,
ЛИТЕРАТУРА

Диссертация посвящена изучению асимптотики дискретного спектра некоторых конкретных квантовомеханических систем. Эти асимптотики получаются на основе теории возмущений в сочетании с вариационными соображениями. В первой главе рассматривается дискретный спектр одномерного оператора Шредингера ~с17'/о(^(г+]/(^)» При изучении поведения нижних уровней энергии потенциал рассматривается как возмущение оператора — сС~/с1зсг, (Точнее, выделяется особенность при £—в операторе (-ЛУкэ^+Е.) •
■М* *) Остальные результаты этой главы основаны на применении теории возмущений дискретного спектра к резольвенте оператора + V(х). Формулы, полученные в гл. I, используются затем в гл. II. Результаты первой главы, возможно, представляют и самостоятельный интерес. Во второй главе изучается дискретный спектр квантовой частицы, движущейся в потенциальной яме при наличии однородного магнитного поля. Связанные состояния тогда в существенном определяются одномерным движением частицы вдоль направления магнитного поля под действием некоторого эффективного потенциала. Сведение задачи к одномерной обосновывается применением вариационных соображений. В третьей главе изучается поведение поправок к спектру многомерного осциллятора, возникающих при введении потенциального возмущения, убывающего на бесконечности. Для этого используются приемы теории возмущений. Однако асимптотика ищется не по малому параметру, стоящему перед возмущением, а по большой энергии.
Результаты всех трех глав получены средствами качественной теории возмущений, применяемой в нестандартной обстановке. Обычные разложения здесь либо не применимы (гл. I, II), либо требуют

значительной работы по их обоснованию (гл. III). Среди причин укажем "рождение" связанных состояний из виртуального уровня на краю непрерывного спектра, высокую кратность невозмущенного спектра, невозможность прямо трактовать возмущение как малое. Полученные асимптотики часто содержат несколько параметров и существенно зависят от взаимоотношений между ними. Таким образом, объединяющей для всей работы является демонстрация возможностей современной теории возмущений в сравнительно сложных ситуациях.
Опишем содержание работы более подробно. В первой главе рассматривается поведение собственных чисел оператора -dZ/clxz +
+■ V(x) при "малых" потенциалах (§1), а также при стремлении потенциала к несуммируемому (§2). В §1 доказываются двусторонние оценки для наименьшего собственного числа £? оператора -dZ/cloc + --1У(х), W 0> которые позволяют получить асимптотику по "малому" потенциалу V:
Е ~-£-[ I У(х)с/х]. (0.1)
В физической литературе подобная формула известна давно (см.[i], с. 185). Математически строгое доказательство было дано Б. Саймоном [2] (см. также !>]). однако лишь для специального случая. Именно, в [2, 3] рассматривался оператор — с1^/с1х^+и доказывалась асимптотика:
-s _ —г О

Е = ^у) +00, . у-~0. (0.2)
При этом условие 1/*0 заменялось на более слабое:
[У(х)с1х<0 У>0;

условия на поведение в бесконечности - те же, что и в §1 настоящей работы. Асимптотика (0.2) для нас недостаточна, поскольку

max I м(0г)у(1т11гВ~)г) W*fi(&;p)pdo
Z1 |Z-2'|«Y / "ft,
~Uk(B>,m^)jd^ ^ 2L. (2.31)
Далее, согласно <£.2)2 и (2.29), по выбранному /г можно взять В настолько большим, что
mcto: I f (2.32)
г' /г-г'кГ К+8* J j
Объединяя (2.31), (2.32) и учитывая (2.30), получим, что при достаточно больших В
тя/к 5 w(0z)lv(/m/TB 1 г) -^(8: г)/^г ^ эе.
г' lB-2'l^i 1
Тем самым (2.25) доказано.
Вместо (2.26) докажем более сильное утверждение. Именно, покажем, что при £ —>• (?
fncva: J |]/Сл /В: z)lolz ■—(2.33)
н' |н-г;/<£'
равномерно по В *(lml+1)^ С*ъ» Если £0 > Y/2 , то (2.33) прямо следует из (2.2)2 и (2.1). Пусть Z0^Jt/Z , С%> 0 . Достаточно считать, что У(р,г) = 0 при d рг^ Гз . Тогда (2.33) следует из (2.2)2 и из того, что функция (&j р) равномерно
ограничена при
Утверждение (2.27) следует из (2.25), (2.28) и (2.33)
Обозначим через ^8, < Д12 (В>/т)<... < 0 собственные
числа оператора - d^/dz1 + (В; н) ; пусть уи^ (В/т)<
< jaz (Bi п)<. .. < О - собственные числа оператора -dVclz^
+ ' r*e определяется
по формуле (2.3) с заменой в ней V(у,У) на /У/р,?)/. Заметим,