Аналитическое исследование суперпотенциала и динамики скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией

• Автор: Юров, Валериан Артемович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Калининград
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
1 Введение
2 Потенциал полной энергии как суперпотенциал в интегрируемых космологических моделях

2.1 Метод суперпотенциала

2.2 От IV(ф) к У(ф) со спонтанно нарушенной симметрией -

условие (і)

2.3 Инфляция с выходом - условие (іі)

2.3.1 Общая модель (2.8)

2.4 Случай ]У —

2.5 Случай IV =

2.6 Модели с космологической постоянной - условие (ііі)

2.7 Заключение
3 Приложение уравнения Абеля первого рода к решению
уравнениями Фридмана- Эйнштейна
3.1 Общее решение уравнений Фридмана с заданным V(ф)
3.2 Основная Теорема
3.3 Примеры

3.4 Модель инфляция и приближение медленного скатывания
3.5 Авто-преобразования Бэклуида для уравнения Абеля
3.6 Заключение
4 Альтернативные модели
4.1 Модель Альбрехта-Магуэйджо-Бэрроу
4.1.1 Туннелирующая волновая функция в квантовой космологии
4.1.2 Модель Альбрехта-Магуэйджо-Бэрроу с ГІСС
4.1.3 Полуклассичеекая вероятность туннелирования
4.1.4 Существование основных состояний сингулярных потенциалов
4.1.5 Инетантоиы
4.1.6 Случай п >
4.2 Космология на бране
4.2.1 Суііерпотенциал на бране и в объемлющем пространстве
4.2.2 Преобразования суперсимметрии
4.3 Заключение
' ' ' У>
5 Пары Лакса для многомерных эволюционных дифферен-
циальных уравнений в частных производных и (3+1)-мерное интегрируемое уравнение, обобщающее уравнение Бюргерса
5.1 Введение
5.2 Основной результат
5.3 Доказательство Теоремы 5.1
5.4 Некоторые точные решения
5.5 Общий случай
6 Заключение
7 Приложение: список публикаций по теме диссертации

1 Введение
Актуальность темы. Исследование различных моделей скалярных полей, взаимодействующих с гравитацией является важнейшей задачей современной космологии и теории поля. Так. центральную роль в современном понимании генерации первичных неоднородностей, которые привели к образованию структур во Вселенной, а также в разрешении классических проблем космологии (горизонта, плоскостности, энтропии и других) играет инфляция в ранней Вселенной. В свою очередь инфляция обусловлена наличием некоторого скалярного поля ф (т.н. инфлатона), или набора скалярных полей с достаточно плоским потенциалом само-действия У(ф) 1. Это свойство приводит к существенным затруднениям при попытке идентифицировать поле ф в рамках реалистических моделей элементарных частиц.
Даже отвлекаясь от этих проблем, можно отметить, что и в уже ставшей классической теории инфляции имеется ряд не до конца ясных моментов. В наиболее развитой космологической модели - т.н. теории хаотической инфляции [80] - предполагается, что в ранней вселенной доминировало скалярное поле с минимальной (в простейшем случае) связью, причем плотность энергии была сконцентрирована в потенциале самодепствия. При этих условиях удается провести ряд упрощений исходных уравнений, после чего редуцированные уравнения тривиально интегрируются, демонстрируя наличие инфляционной фазы (более точно, квази-де Ситтсровской фазы, в течение которой параметр Хаб-бла можно примерно считать константой) 2. Далее предполагается, что в процессе раздувания кинетический член возрастает до тех пор пока приближение медленного скатывания не перестает действовать. Отсюда делается вывод о самопроизвольном прекращении инфляции (или о выходе из инфляции, на космологическом жаргоне). Следующей фазой должна быть фаза осцилляций, которая необходима для заполнения вселенной, “опустошенной инфляцией”, элементарными частицами. Согласно обсуждаемой парадигме, все эти частицы были рождены из вакуума сильно осциллирующим скалярным полем, амплитуда колебаний которого уменьшалась со временем. Произошел вторичный разогрев, после которого вселенная оказалась не только однородной и плоской, но гг заполненной горячим веществом. Другими словами на этом этане можно использовать космологические уравнения Фридмана для вещества с уравнением состояния характерным для электромагнитного поля. Дальнейшая эволюция вселенной должна уже протекать по классическому
коэффициенты при высших степенях поля ф2и с п > 2 должны быть чрезвычайно малы.
2Иногда этот подход называют приближением медленного скатывания

3.2 Основная Теорема
Основной результат данной работы заключается в следующей теореме:
Теорема 3.2. Пусть х — Зл/2ф, х — 1п|VI, к = ±1. Для заданного У(ф) соответствующий гамильтониан IV = У(х, С) определяется из (см. замечание 2):
W{x,C) = V{x)
f(y + Vy2- i)2 + i^
- (У + vV - і) у
(3.6)
где у = у(х,С) ф ±1 - общее решение следующего уравнения Абеля первого рода:
у' = - {и2 - 1) (* - х'у) ■ (3.7)
Особый случай V = 0 имеет место тогда и только тогда, когда у — ±1, а гамильтониан W имеет вид:
W = Секх (3.8)
Доказательство теоремы производится прямым вычислением.
Замечание 3. (3.6) порождает семейство решений уравнения (1.1), (1.3)
, параметризованное константой С. Подставляя W(x, С) в (3.4) после интегрирования получим ф = ф(Ь С, to), где to - вторая константа интегрирования, связанная с инвариантностью скалярного поля относительно преобразовании вида£ —■> t + const. Иными словами, предлагаемый алгоритм действительно позволяет отыскать общее решение уравнения (1.1), (1.3) , что и составляет главный результат данной работы.
Замечание 4. В частном случае у = ±1 (т.е. V = 0) общее решение (1.1), (1.3) имеет вид

Ф(г) = ф0± — log (t -10),
а масштабный фактор:
a(t) = aQ(t- to)1/
поэтому данный случай соответствует "жёсткому"уравнению состояния с ш — 1.