Анализ фундаментального решения уравнения Дирака как обобщенной функции

• Автор: Бесерра Бесерра Ариэль Рей
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

Оглавление
Введение

1 Уравнение Дирака. Основная теория

1.1 Возникновение уравнения Дирака

1.2 Ковариантная форма уравнения Дирака

1.3 Матрицы Дирака

1.4 Релятивистская инвариантность уравнения Дирака . .

1.5 Проблема классического предела

2 Фундаментальное решение уравнения Дирака для свободной частицы как обобщенная функция пространственных переменных

2.1 Анализ фундаментального решения

2.2 Образ Фурье фундаментального решения

2.3 Экспоненциальный вид образа Фурье
2.4 Образ Фурье в случае нейтрино
2.5 Нерелятивистский предел
2.6 Мгновенная скорость электрона Дирака
3 Предмера Дирака, зависящая от значений п произвольных линейных функционалов (п — конечное)
3.1 Процесс Орнштейна - Уленбека для меры Винера
3.2 Мера Дирака цилиндрических множеств
3.3 Процесс Орнштейна - Уленбека для уравнения Дирака
3.4 Цилиндрическое множество с л-мерным основанием .

ОГЛАВЛЕНИЕ

4 Классический предел решения уравнения Дирака
4.1 Классический предел
Заключение
Литература
Введение
Уравнение Дирака, как известно, играет важную роль в теоретической физике, и соответственно в описании важных явлений микромира. Оно было предложено П. А. М. Дираком для электрона и других частиц со спином 1/2. К сожалению это уравнение и его решение, также как и многие вопросы современной физики, до сих пор не имеют полной физической интерпретации. Сложность в случае Дирака связана с тем, что мы имеем дело с обобщенными функциями и обращение с ними стандартными математическими подходами оказывается довольно трудным.
Одной из главных задач теории Дирака, и которая до наших дней не решена удовлетворительным образом, является получение классического предела для этого уравнения. Хотя попыток ее решения было довольно много, по видимому до сих пор не встречалось достойного ответа на этот вопрос.
В настоящей работе мы представляем новый метод изучения фундаментального решения уравнения Дирака на основе теории обобщенных функций и на изучении образа Фурье фундаментального решения этого уравнения. Этим методом мы получаем без приближений классический предел для свободной частицы. Удобства данного подхода заключаются в том, что используются финитные функции и устраняются проблемы сингулярности при изучении упомянутых выше уравнений.
Основные полученные нами результаты настоящей диссертационной работы излагаются с главы 2 по 4.
В главе 1 вводятся нами уже известные основные принципы в теории Дирака. Показывается кратким образом как Дирак получил релятивистское уравнение и из каких принципов. Рассматриваются основные свойства матриц Дирака и в конце доказывается релятивистская инвариантность уравнения Дирака. Также приводится крат-

2.3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ВИД ОБРАЗА ФУРЬЕ

виде произведения
П [I соз(ДЯу'т2 + и?) — г’70 == 8т(Л£7Ут2 + -иЯ)], (2.38)
э=г ДггР + иг
где Д^ = ^ — tj-1. Отметим, что сомножители в этом произведении некоммутативны. Если неограниченно уменьшать максимальный из всех АЬ$ увеличивая их количество таким образом, чтобы отрезок О, Ь остался постоянным, то мы можем их считать приблизительно одинаковыми, т.е.
Ых к, Д*2 « ... « Аг„ = Д£.
Используя хорошо известные пределы
sin(A ty/m2 + w2) lim —v . v ■= =s—1 = At bt-* о /m2 + vfi
lim cos(AtVm2 + w2) — 1,

(2.38) примет вид
lim II (1 ~ *7°[(7. w) + Im]Atj) =
lAlj—>U j__]
= Um(J — *7°[(7, u>) + /т]Л£)п =
= ~ *7°[(7i w) + /mJAt)3*. (2.39)
Умножим на величину — *7°[(7, w) + Im] = R числитель и знаменатель показателя (2.39) и получаем
Km [(/+ ЯД£)лЛ дд-^о 1 '

lim (I + RAt)R^> лд-кг ’

= Ге'Р

о-г'70 [(7,г»)+?п/]Д
Дт(ш) = e-*rU7,»)-nnflt (2.41)
Правильность полученной формулы можно проверить разлагая в ряд Маклорепа экспоненциален, стоящий в правой части последнего равенства и сравнивая с соответствующим рядом выражения (2.37).