Разложение гамильтониана планетной задачи по всем элементам

• Автор: Греб, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.03.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 116 с. : ил

Содержание
Введение

1 Представление Гамильтониана в координатах Якоби

1.1 Координаты Якоби

1.2 Кинетическая и потенциальная энергия в кординатах Якоби

1.3 Представление гамильтониана в координатах Якоби в виде суммы невозмущенной и возмущающей части

1.4 Гамильтониан для случая двух планет

2 Оскулирующие элементы

2.1 Различные системы оскулирующих элементов

2.2 Скобки Пуассона в различных системах оскулирующих элементов

2.2.1 Общий случай перехода от канонической системы к некононической

2.2.2 Отсутствие перемешивания импульсов и координат
2.2.3 Переход между неканоническими переменными при отсутствии перемешивания элементов первой и второй группы
2.3 Нахождение скобок Пуассона в различных системах оскулирующих элеметов для задачи одного притягивающего центра

2.4 Нахождение скобки Пуассона в различных системах оску-
лирующих элементов для планетной задачи
2.4.1 Матрицы Пуассона для случая двух планет
2.4.2 Сингулярности скобок Пуассона
3 Представление гамильтониана в оскулирующих элементах
3.1 Невозмущенная часть
3.2 Функциональные свойства гамильтониана
3.3 Представление гамильтониана рядом Пуассона по всем элементам
3.4 Случай двух планет
3.5 Анализ свойств представления гамильтониана рядом Пуассона
3.5.1 Оценка границ суммирования
3.5.2 Оценка числа коэффициентов
4 Вычисление коэффициентов разложения гамильтониана
4.1 Выбор постоянных
4.2 Вычисление коэффициентов по интегральному представлению в элементах у^
4.2.1 Область интегрирования
4.2.2 Вычисление Ъъ в подынтегральном выражении
4.2.3 Выбор радиусов ь$
4.2.4 Генерация случайных чисел
4.3 Вычисление коэффициентов по интегральному представлению в элементах у^
4.3.1 Область интегрирования
4.3.2 Вычисление % в подынтегральном выражении
4.4 Практическая реализация метода

4.4.1 Вычисление радиусов у
4.4.2 Численные значения коэффициентов
Заключение Ю
Литература

Если мы умеем вычислять скобки Пуассона, то каноничность становится не столь уж важной. Переменные (2.45) будут использоваться как промежуточный этап, так что другие канонические элементы приводить не будем.
Найдем V и V-1 для ранее рассмотренных оскулирующих элементов. В любой канонической системе согласно (2.12) V равно единичной матрице £ порядка 3. Это вытекает из сравнения (2.20) и (2.26) Далее сосчитаем матрицу V для всех рассмотренных неканонических элементов.
1. Система (2.1) — стандартные кеплеровские элементы. Переход от р, д к х^1), у^1) имеет форму (2.34). Искомая матрица оперделяется формулой (2.36). Поэтому проще сначала вычислить обратную матрицу
у(-і) =

<9x0 2 л/а

(2.47)

п —2— О

у, cos/ —2ае^^- —2ar)smlj Во избежание путаницы матрицы V и их элементы будут снабжаться верхним индексом в круглых скобках, показывающим соответствующую
систему элементов. Обратную матрицу, для простоты, будем обозначать

У^ к) вместо
Треугольная матрица (2.47) оборачивается без труда
(2а 0 0

öx^1)

ся а
111 zIL

(2.48)
О £tgУ -
г) r sm I /
Правильность формулы (2.48) можно проверить, используя обратное к (2.45) преобразование

arccos•

ЧР1 / Р
Как и должно быть согласно (2.32), матрица (2.48) есть матрица коэффициентов уравнений Лагранжа [24] .