Либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримостей средних движений в модели обобщенного идеального резонанса

• Автор: Абдульмянов, Тагир Раисович
• Шифр специальности: 01.03.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 106 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Построение модели либрационного движения астероидов вблизи соизмеримостей средних движений астероидов и Юпитера.
1.1. Общая характеристика орбит астероидов и методов
исследования их движения вблизи соизмеримостей
1.2. Формулировка задачи
1.3. Преобразования гамильтониана задачи
1.4. Решение задачи для промежуточного гамильтониана
1.5. Вывод формулы для вычисления средней долготы астероида
1.6. Решение задачи для орбит с малыми наклонами
1.7. Решение задачи для возмущений порядка 0(т3^2)
ГЛАВА 2. Характеристики либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей средних движений
2.1. Периодические орбиты астероидов при т~ 0
2.2. Характеристики либрационных движений астероидов вблизи соизмеримостей 1/1, 4/3, 3/2, 2/1, 7/3, 5/2 и 3/1
2.3. Границы и амплитуды либраций
ГЛАВА 3. Классификация либрационных орбит
3.1. Либрационные орбиты астероидов вблизи соизмеримостей 1/1 и 3/2
3.2. Либрационные орбиты вблизи люков 2/1 и 3/1
3.3. Устойчивость положений равновесия
3.4. Либрационные движения астероидов группы Гильды
3.5. Сравнение движений вблизи соизмеримостей 3/2 и 1/1 астероидов группы Гильды и астероидов троянской группы
3.6. Применение результатов исследования либрационных движений астероидов к проблеме формирования неравномерностей в распределениях малых
планет по их средним движениям и наклонам орбит
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИЛОЖЕНИЕ II

ВВЕДЕНИЕ
Орбитальное движение большинства известных астероидов, согласно результатам исследований, происходит по слабовозмущенным эллиптическим орбитам с небольшими эксцентриситетами и наклонами. Исключениями из этого правила являются те случаи, когда средние орбитальные движения астероидов и возмущающей планеты соизмеримы, то есть, когда их отношения равны или близки к отношениям двух целых чисел. В этих случаях возмущения в движениях астероидов становятся значительными (эффект соизмеримости).
В движении астероидов эффект соизмеримости был открыт в 1867 году Кирквудом. Рассматривая распределения астероидов по их средним орбитальным движениям, он заметил крайнюю малочисленность астероидов вблизи соизмеримостей 3/1 и 2/1 (люки Кирквуда). Однозначное объяснение причин формирования люков к настоящему времени не найдено. Известны четыре гипотезы о формировании люков [65]: космогоническая, статистическая, гравитационная и гипотеза, согласно которой люки образовались в результате взаимных столкновений астероидов. В статье Швецера [94] и в некоторых других исследованиях [77, 99] показано, что статистическая гипотеза не подтверждается результатами исследований. Гипотеза о столкновениях астероидов проверялась в работах Эппенгеймера [69] и Везерила [98]. Согласно результатам их исследований вероятность взаимных столкновений астероидов в люках мало отличается от вероятности столкновения астероидов, расположенных вне люков. Космогоническую гипотезу, согласно которой люки существовали при формировании планетной системы, трудно подтвердить также как и опровергнуть, ввиду отсутствия как данных наблюдений, так и достаточно точной модели формирования планет. Ввиду перечисленных причин исходной для исследования проблемы формирования люков считается гравитационная гипотеза. Согласно гравитационной гипотезе, в формировании люков и сгущений проявляются особенности гравитационного поля, образуемого Солнцем и большими планетами и прежде всего с Юпитером.

Более поздние открытия астероидов показали, что с соизмеримостью средних движений связано не только появление люков. В соизмеримостях 1/1, 4/3 и 3/2 наблюдается обратное явление - скопление астероидов (сгущения). Формирование скоплений астероидов вблизи соизмеримости 1/1 связано с существованием устойчивых точек равновесия. Эти точки равновесия были найдены в 1772 году Лагранжем как частные решения ограниченной задачи трех тел. Гравитационные и центробежные силы в этих точках уравновешиваются. Вследствие этого тело, бесконечно малой массы, попадая в эти точки с нулевой начальной скоростью (во вращающейся системе координат), длительное время будет оставаться в этих точках неподвижным. Если начальная скорость ненулевая (но достаточно малая), то астероид будет совершать колебания (либрации) во вращающейся системе координат вблизи положения равновесия. Существование таких устойчивых точек равновесия вблизи соизмеримости 1/1 подтвердилось в результате открытия астероидов троянской группы. Эти астероиды образуют две подгруппы, в соответствии с двумя устойчивыми положениями равновесия L и L§.
Результаты наблюдений и исследований [25 - 28] показывают, что значительные либрационные движения существуют также и у астероидов, расположенных вблизи соизмеримостей 4/3 и 3/2. Однако такое же простое, как в случае соизмеримости 1/1, объяснение происхождения либраций в общем случае к настоящему времени не найдено. Существование либрационных движений у астероидов, расположенных вблизи других соизмеримостей, невозможно объяснить существованием точек La и С,, так как их орбиты расположены далеко от точек Лагранжа La и Lj.
Влияние особенностей гравитационной системы Солнце - Юпитер на движение малых планет вблизи соизмеримостей исследуются при помощи методов теории возмущений [12]. В аналитических методах исследования предполагается вывод уравнений либрации. Исходными уравнениями для вывода уравнений либрации являются уравнения ограниченной задачи трех тел. В результате канонических преобразований исходные уравнения приводятся к уравнениям упрощенного вида. Полученные в результате преобразований уравнения, в отличие от исходных уравне-

найдем выражения для большой полуоси и эксцентриситета орбиты астероида в виде ряда эллиптических функций Якоби. Рассмотрим конкретный случай соизмеримости 1/1 и конкретные астероиды (588) Achilles, (884) Priamus и (1143) Odysseus. По данным значениям элементов орбит-астероидов (Эфемериды малых планет) на эпоху 28 июля 1948 года были вычислены резонансные параметры а2 и константы с в формуле ( 1.22). Резонансные параметры а2 и константы с для этих астероидов равны соответственно 0.0107, 0.0652, 0.055 и 0.0111, 0.0073, 0.0042. При помощи замены переменной z на и
Z = Z2 — (Z2 — Zi) • СП2и
и элементарных операций над рядами, правую часть равенства ( 1.22) выразим в виде ряда эллиптической функции спи. В преобразовании z —> и через Zi обозначены корни уравнения третьей степени о? — /о = 0, Предполагается, что корни обозначены в следующем порядке Zi > Z > Z3. При помощи выражения для G найдем выражение в виде ряда для переменной L: L = с + G. Тогда выражения для большой полуоси и эксцентриситета найдем по формулам а = L2,e2 = 1 — (1 — Г/i)2. Все эти вычисления можно выполнить при помощи системы аналитических вычислений. В результате вычислений получим выражения для а и е2 в виде рядов
оо оо
а = X) Ьсп2ги,е2 = 5/ dicn2'u.
i—0 i—
Аргумент и эллиптической функции спи при помощи формулы Лагранжа ( 2.1) выражается в виде ряда
и = git + g2t2 H h g^t6.
Коэффициенты gi,bi,di даны в таблице 1.2. Знак производной d*/dt в выражении ( 1.22) при вычисления считался равным -1, что соответствует движению астероида в сторону Юпитера (во вращающейся системе координат). Для обратного движения необходимо коэффициенты bi,dt, за исключением bo,da, взять с противоположным знаком.
Таким образом, решение сформулированной задачи для промежуточного гамильтониана можно получить в виде рядов по степеням эллипти-