Трехмерные волны на поверхности пленки вязкой жидкости, стекающей по вертикальному цилиндру

• Автор: Бочаров, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Глава 1 Физико-математическая модель трехмерных волн на поверхности цилиндрической пленки вязкой жидкости
1.1 Основное модельное уравнение
1.2 Некоторые свойства основного уравнения
1.3 Стационарно-бегущие волны в окрестности нейтральных волновых чисел
Глава 2 Методы исследования нелинейных волновых режимов
2.1 Методы расчета семейств стационарно-бегущих решений
2.2 Метод исследования на устойчивость
2.3 Метод исследования и постановка эволюционных задач
Глава 3 Трехмерные волновые режимы
3.1 Первое пространственное семейство решений,
3.2 Устойчивость аксиально-симметричных волн к пространственным возмущениям
3.3 Устойчивость и ветвление пространственных семейств решений. Солитоны
Глава 4 Нестационарные волновые режимы
4.1 Эволюция произвольных возмущений в области умеренных волновых чисел
4.2 Эволюционная перестройка волн со сменой пространственного периода
Заключение
Список цитируемой литературы

Начиная с пионерских экспериментов П. JI. Капицы 1948 года по волновым течениям тонких слоев вязкой жидкости, исследование волн на поверхности жидких пленок до сих пор продолжает интересовать многих исследователей.
Прикладная значимость пленочных течений обусловлена широким использованием стекающих пленок жидкости в технологических процессах химической промышленности, энергетики, металлургии и других областях. Примеры использования пленочных течений в промышленности можно найти, например, в книгах Тананайко, Воронцова (1975), Соколова, Доманского (1976), Бояджиева, Бешкова (1988).
Вследствие неустойчивости на свободной поверхности пленочного течения возникает сложная волновая картина уже для достаточно малых чисел Рейнольдса Re — Voho/v, где Уо - скорость поверхности пленки, ho - невозмущенная толщина пленки, и - кинематическая вязкость жидкости.
Это простое ламинарное гидродинамическое течение демонстрирует как регулярную, так и хаотичную динамику, что вызывает особый интерес у многих авторов. В экспериментальных исследованиях Капицы установлено, что на поверхности ламинарного течения вязкой пленки, осуществляемого для умеренных чисел Рейнольдса, возникают волны, длина которых намного больше толщины пленки. Первые аналитические результаты по волновой неустойчивости такого течения изложены в работах Benjamin (1957) и Yih (1963), которые резюмированы в работах Lin (1983) и Lin, Wang (1985). С помощью уравнения Орра-Зоммерфельда Бенжамин аналитически показал, что для слоя жидкости, стекающего по наклонной плоскости, существует критическое волновое число, которое указывает верхнюю границу области неустойчивости течения с постоянной толщиной к бесконечно малым возмущениям. Он показал, что существенным оказывается наличие сил поверхностного натяжения, пренебрежение которыми приводит к неустойчивости течения для возмущений с любыми волновыми числами. Таким образом, можно ввести еще один безразмерный параметр, определяющий волнообразование на поверхности пленки, - число Вебера We = а/pgh'o, где а - коэффициент поверхностного натяжения, g - ускорение свободного падения. Численно, аналогичные результаты для умеренных чисел Рейнольдса Re = 1-1-40 были изложены в работах Krantz, Goren (1971) и Whitaker (1964), а в работе Pierson, Whitaker (1977) вплоть до Re « 700.
Экспериментальные работы (Капица, Капица 1949) показали наличие кри-

тического числа Рейнольдса, ниже которого волны на поверхности жидкости не возникают. Волновой режим течения не развивается, а искусственно созданные волны затухают. Дальнейшие экспериментальные исследования других авторов, например, Brauer (1956), Алексеенко, Накоряков, Покусаев (1979) и Ishigai, Nolanisi, Koizumu, Oyabu (1972) подтвердили существование критического расхода. Однако, линейная теория устойчивости не указывает на наличие критического числа Рейнольдса, что объясняется резким уменьшением амплитуды установившихся волн в окрестности этого экспериментального числа Рейнольдса и конечной чувствительностью аппаратуры (Алексеенко, Накоряков, Покусаев 1979).
Для теоретического описания волн на поверхности пленки требуется решить в полной постановке задачи течения пленки систему уравнений Навье-Стокса с кинематическими и динамическими граничными условиями, что является, очевидно, очень сложной проблемой. Однако наличие условия длинноволновое с = /го/А -С 1, где Л - характерная длина неустойчивых возмущений; позволяет сделать-разложение исходных, уравнений в ряд по малому параметру є. Ограничиваясь первыми членами разложения можно достаточно корректным образом придти к набору сравнительно простых модельных • уравнений. Разбивая область значений числа Рейнольдса'на два диапазона Re ~ 1 -т- I/є , и Re t 1 придем к моделям двух разных типов.
В первом случае (Re ~ 1-і- I/є) систему уравнений Навье-Стокса можно свести к системе уравнений типа пограничного слоя (Капица 1948), (Левич 1959). В работе Крылова, Воротилина, Левича (1969) показано, что для реальных жидкостей ее можно использовать вплоть до значений числа Рейнольдса Re ~ 1000. И хотя на основе системы проведен ряд численных экспериментов (Демехин, Демехин, Шкадов 1983), (Гешев, Ездин 1985), такая система остается довольно сложной для подробного анализа ее решений.
Чтобы упростить систему уравнений типа пограничного слоя часто прибегают к использованию различных интегральных методов (Капица 1948), (Berbente 1968), (Шкадов 1967). Так используя предположение об автомодельности профиля скорости волнового течения Шкадовым (1967) была получена система уравнений
Здесь учтено, что фазовая скорость волн первого аксиально-симметричного семейства с = 0. Го - амплитуда первой гармоники Фурье разложения первого аксиально-симметричного семейства. Черта сверху означает комплексное сопряжение.
Из условия разрешимости системы (3.2.1) имеем
+ 4а2|Г0|2(3£о - 4) = 0 (3.2.2)
Подставляя а = 1 в (3.2.2), находим значение квадрата амплитуды основной гармоники |Го|2. Из этого в соответствии с приближенным аналитическим решением (1.3.12) находится волновое число решения семейства 1а, при котором от него с удвоением периода волны ответвляется пространственное семейство I
2 |2 (52 + 5/8)(Яг-3/8
1 З1,1 16(5'2 + 9/8) ' }
На рис 3.2.7 эта зависимость волнового числа а от параметра Б изображена пунктиром. Подчеркнем, что при <У/2 происходит вырождение решений первого пространственного семейства при заданном Б в волну первого аксиально-симметричного семейства (линия р на рис. 3.1.5).
Из рис. 3.2.7 видно, что ветвление пространственных волн от первого аксиально-симметричного семейства возможно и для Б > Бс, когда нет возможности ветвления пространственных волновых режимов от тривиального решения Н = 0. Примеры пространственных семейств решений, ответвляющихся от семейства 1а в этом случае показаны на рис. 3.2.8.
Фазовая скорость с этих семейств так же тождественно равна нулю. В окрестности а ~ 0.25 пространственное семейство, соответствующее 5 = 0.8 вырождается в волну первого аксиально-симметричного семейства с учетве-рением длины волны. Пространственное семейство, соответствующее 5 — 0.9, может быть непрерывно продолжено в область малых волновых чисел а. Эти примеры демонстрируют, что с изменением параметра Б устройство пространственных семейств решений может качественно меняться и, следовательно, решения могут терпеть разрыв.