Матричное лагранжево описание вихревых структур в идеальной жидкости

• Автор: Зенькович, Дмитрий Алексеевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 138 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. КОНЦЕПЦИЯ МАТРИЧНОГО ЛАГРАНЖЕВА ОПИСАНИЯ
ДВИЖЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ЕЕ Введение
Е2. Лагранжево описание и обычная форма записи лагранжевых
уравнений
ЕЗ. Особенности трехмерного стационарного движения
Е4. Матрица Якоби и матричное представление лагранжевых уравнений гидродинамики
Е5. Унитарные преобразования и комплексная форма матричных
уравнений
Е6. Комплексная формулировка трехмерных уравнений для траекторий частиц
Е7. Выводы к главе 1
ЕЛАВА 2. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР НА
ОСНОВЕ МАТРИЧНОГО ОПИСАНИЯ
2Л. Постановка начальных и граничных задач
2.2. Описание поля завихренности при матричном подходе
2.3. Базовые элементарные решения матричных уравнений
2.4. Матричная формулировка решений теории быстрой деформации
2.5. Двумерные течения со слоистыми распределениями завихренности и их трехмерные обобщения
2.6. Параметрические методы «сшивки» вихревых течений с потенциальными
2.7. Выводы к главе
ГЛАВА 3. ТЕЧЕНИЯ С ПРЕЦЕССИЕЙ ЗАВИХРЕННОСТИ
3.1. Общая схема разделения переменных для решений с экспоненциальной зависимостью от времени
3.2. Плоские птоломеевские течения

3.3. Течения с искривленными вихревыми линиями
3.4. Течения с прямыми вихревыми линиями
3.5. Прецессирующие цилиндрические вихри эллиптического сечения в потенциальном потоке
3.6. Выводы к главе 3
ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ВИХРЕЙ С ОСЕВЫМ ТЕЧЕНИЕМ В ДЕФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКАХ
4.1. Обзор литературы по динамике вихревых структур
4.2. Лагранжево обобщение преобразования Лундгрена для вихрей с
осевым течением
4.3. Птоломеевские вихри в осесимметричном деформационном поле
4.4. Птоломеевские вихри с осевым потоком
4.5. Волны Герстнера на фоне поперечного течения
4.6. Выводы к главе 4
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Функции, переменные и константы обозначаются обычным наклонным шрифтом, например:
X, У, 2 — декартовы координаты в пространстве Щ,рр2, Щ — комплексные пространственные координаты а,Ь,с — лагранжевы переменные ф ,дг^з — комплексные лагранжевы переменные
Ли'42,13 — комплексные параметры, <р — угловой параметр
8(1) ^(2)^(3)
— инварианты Коши р — давление, р — плотность, В — функция Бернулли ф — потенциал, ц/ — функция тока еук — элементы тензора Леви-Чивита Векторные величины обозначаются жирным наклонным шрифтом, например:
X — {Х,¥,2} — радиус-вектор Е = {Ух, Уу, Е} — вектор скорости ¥2 = {]?х, Оу, 12г} — вектор завихренности 7 — {ть 72, Тз] — вектор угловой скорости [А х В] — векторное произведение А и В (А,В) — скалярное произведение А и В
Ц' = {йу Щ} — вектор-столбец из комплексных координат
а = {а,Ь,с} — набор лагранжевых переменных
, |з} — набор комплексных лагранжевых переменных 5 = >5ц3'} — вектор-столбец, образованный из инвариантов Коши
Матрицы обозначаются прямым жирным шрифтом без засечек, например:
Р — действительная матрица Якоби
1. — комплексная матрица Якоби
V — матрица производных от скоростей по лагранжевым переменным
Б — матрица инвариантов Коши, О — тензор деформации
Т — матрица унитарного преобразования
I — единичная матрица
£2 — матрица завихренности
у, а> — постоянные антисимметричные матрицы
д.1щ{А,Аг,Аз} — диагональная матрица с элементами А,А2,А^

действительной матрицы, которая может быть получена в результате преобразования 13 = т*і_т.
1.6. Комплексная формулировка трехмерных уравнений для траекторий
Проведенные в предыдущем разделе унитарные преобразования матричных уравнений подсказывают, что комплексное представление можно получить и для обычных лагранжевых уравнений относительно траекторий частиц. Для этого вместо действительных траекторий Х(а^) следует рассматривать комплексные функции Возможность преобразования нелинейных урав-
нений для трехмерных течений к комплексной форме, несомненно, является нетривиальной, поскольку область приложения функций комплексных переменных в гидродинамике традиционно ограничивалась плоскими потенциальными течениями [3,4].
Естественный способ получения уравнений для комплексных траекторий частиц, аналогичных системе (1.3), заключается в подстановке туда соотношений
полученных из формул преобразования (1.19), (1-24). Для простоты условимся сохранять обозначения 2 и с для действительной координаты и действительной лагранжевой переменной, так как они преобразуются при переходе к комплексным величинам тождественным образом. Разрешая преобразованные уравнения относительно линейных членов с производными в правых частях, получим следующую систему комплексных лагранжевых уравнений:
В этом и следующих уравнениях настоящего раздела для краткости опущены индексы «1» у неизвестных функций }¥, Цг И переменных §1, <ф. Очевидно, первые два уравнения в (1.33) являются по отношению друг к другу комплексно сопряженными, поэтому достаточно рассматривать только одно из них.
частиц
2~1/2(тг = 2~1/2і{т - щ), Эа= 2-1/2(^,+%)) дь= 2-'^-%),
(1.31)
(1.32)
+Щ,ГГ? + 2^ = -рк(р - Ф§ , ИГ'Щ+Щ,Щ + 2„2Т = рт/р -ЪЖ + Щ, №С + 2„2С = -рс/р -Фс.
(1.33)