Смешанные вариационно-сеточные методы теории криволинейных стержней

• Автор: Мелентьев, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 189 с. : ил

Оглавление

Введение
Глава 1. Обзор ортогональных финитных функций
§ 1. Ортогональные финитные функции первой степени
§2. Ортогональные финитные функции второй степени
Глава 2. Вариационно-сеточные методы решения линейных задач 26 статики криволинейных стержней §1. Постановка и решение задачи о напряжённо-деформированном 26 состоянии полукольца в проекциях на оси естественного трёхгранника §2. Постановка и решение задачи о напряжённо-деформированном 35 состоянии полукольца в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат
Глава 3. Вариационно-сеточные методы решения нелинейных задач 85 статики криволинейных стержней §1. Постановка нелинейной статической задачи о напряжённо- 85 деформированном состоянии тонкого криволинейного стержня §2. Вариационно-сеточные методы и решения нелинейных 88 статических задач о напряжённо-деформированном состоянии тонкого криволинейного стержня
Глава 4. Вариационно-сеточные методы решения задач динамики 118 криволинейных стержней в проекциях на оси неподвижной декартовой
системы координат
Заключение
Список использованных источников и литературы
Приложение

Введение
Одним из основных средств решения краевых и эволюционно-краевых задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), составляющих математические модели механических систем с распределенными параметрами, являются вариационно-сеточные методы (ВСМ), основанные на вариационных принципах МДТТ.
В методе конечных элементов совершается переход от сплошного тела с бесконечным числом степеней свободы к механической системе с конечным числом степеней свободы. При создании МКЭ существовавшие апробированные алгоритмы расчета статически неопределимых стержневых систем были использованы для решения двумерных и трехмерных задач теории упругости. В начале развития метода тело разбивалось на составные части, заменявшиеся стержнями, которые были связаны между собой в узлах. Неизвестными выступали узловые перемещения. В дальнейшем вместо стержней стали применять двухмерные и трёхмерные элементы заданной формы. Требуемое решение полностью определялось значениями в узловых точках. Первые вычислительные матричные процедуры МКЭ были созданы без применения вариационного исчисления. Основной работой развития метода конечных элементов в этом направлении была статья Р. НгепшкоТ [134]. В работах И.Г. Бубнова [7] были предложены проекционные методы решения краевых задач. Он доказал [7], что уравнения метода Ритца могут быть получены без использования вариационной процедуры. Б. Г. Галёркин [16] развил и применил в расчетах конструкций метод И.Г. Бубнова вне связи с какой-либо вариационной задачей. Первое математическое обоснование метода Бубнова-Галёркина применительно к интегральным уравнениям дал Ю.В. Репман [88]. Г. И. Петров [80] получил аналогичные результаты для дифференциальных уравнений н обобщил данный метод. Метода Бубнова, Галёркина, Петрова служат базой для построения общих алгоритмов решения краевых задач, которые в определенных случаях без

использования вариационных принципов дают те же уравнения, к которым приводит метод конечных элементов. R. Courant [126] построил приближенное решение краевой задачи на основе вариационного принципа минимума потенциальной энергии с использованием кусочно-линейных аппроксимаций на треугольных элементах, что привело к стандартной пятиточечной разностной схеме для уравнения Лапласа В данной работе была установлена связь между вариационными и разностными методами и определена вариационная основа метода конечных элементов. Впервые в методе конечных элементов стали применяться базисные функции с конечными носителями, что стало главным отличием вариационного метода конечных элементов от классических вариационных численных методов. Матрица сеточных уравнений приобрела ленточную структуру, что улучшило её обусловленность и позволило использовать методы решения ленточных систем алгебраических уравнений. J.H. Argyris [113] выявил связь не только метода перемещений, но и метода напряжений, с вариационными принципами механики, показав общность метода конечных элементов и вариационно-сеточных методов.
Основное развитие вариационно-сеточных методов механики деформируемого твёрдого тела было связано с применением вариационных принципов Лагранжа и Кастильяно, отражающих экстремальные свойства одноименных функционалов. Функционал Лагранжа имеет в стационарной точке минимум, а функционал Кастильяно - максимум, что позволяет вводить так называемые энергетические нормы и соответствующие гильбертовы пространства, а также исследовать существование, единственность и сходимость решений. При их совместном использовании можно давать апостериорную оценку точности приближенных решений. У вариационно-сеточных методов “в перемещениях”, построенных на основе вариационного принципа Лагранжа, есть ряд существенных недостатков, а именно: из-за высокого порядка входящих в функционал производных требуется высокая гладкость базисных функций; кинематические краевые условия необходимо выполнять заранее; низкая гладкость при-

80, 101 - 104; 9, 15, 33 - 36, 57 - 60, 81 - 84, 105 - 108; 10, 16, 37 - 40, 61 - 64, 85 - 88, 109 - 112) приближённых решений с графиками точных решений, изображённых плавными линиями, и друг с другом, показывает, что самым эффективным из шести рассматриваемых вариационно-сеточных методов при решении задач с постоянными параметрами является метод, в котором в качестве базисных функций применяются функции (1.2.1). Этот метод, во-первых, характеризуется высокой точностью полученных решений (рис. 65 - 88), а, во-вторых, ортогональность функций (1.2.1), которой не обладают В-сплайны, делает алгоритм метода более рациональным.
§2. Постановка и решенне задачи о напряжённо-деформированном состоянии полукольца в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат
Неподвижная декартова система координат выбирается таким образом, чтобы левый конец стержня совпадал с началом координат (Рис. 3). Уравнения (2.1.1) проектируются на оси данной системы координат
<зОу (іо2 <шх ^ ^
—~--д, —^ = -я, —— = -тО + тОк - и.
Ж Ж Чу’ Ж Ж - гу
сШу (М. „ _
= —^ = -Тх0у+Гу0х-^,
Жх 1 .. , (іи
—= Ох - гД 4- тД —- = О., - г Д. + гД,
Ж ЕР х у ' >5 Ж ЕР у * х А
=Д.- - гл+ * л , ^=+ р*м, + р^, .
^ = РуМ. + РууМ, + Р*М’,~^= Р~М- + РчМг + Р*М-. (2.2.1)
где (2Х, О,,, 0:- проекции вектора силы соответственно на оси Ох, Оу, Ог; Мх, Му, М.- проекции вектора момента; их, иу, и2 - проекции вектора сме-