Оптимальное управление формой и структурой тонких включений в задачах теории упругости

• Автор: Щербаков, Виктор Викторович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 84 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Задача управления параметром жесткости тонкого включения в упругом теле с трещиной
1.1. Задачи равновесия
1.2. Производные функционалов энергии по длине трещины
1.3. Оптимальный параметр жесткости включения
Глава 2. О выборе оптимального положения точки излома
2.1. Краевая задача
2.2. Формула для производной функционала энергии
2.3. Задача оптимального управления
Глава 3. Об экстремальной форме тонкого жесткого включения в упругом теле
3.1. Постановка задачи
3.2. Экстремальная форма включения
Глава 4. Существование оптимальной формы тонкого жесткого включения в пластине Кирхгофа — Лява
4.1. Формулировка задачи равновесия
4.2. Управление формой включения
Литература

Введение
Диссертация посвящена изучению задач оптимального управления формой и структурой в моделях механики деформируемого твердого тела, описывающих равновесие упругих тел с тонкими включениями и возможным отслоением. Речь идет о моделях, формулируемых в виде задач с неизвестной границей и содержащих нелинейные краевые условия (условия типа Си-нъорини), заданные на берегах трещины отслоения и исключающие взаимное проникание точек упругого тела и тонкого включения.
В диссертации изучаются проблемы оптимального управления для задач равновесия упругих тел, содержащих тонкие включения. Различаются три основных вида включений: упругие, жесткие и обладающие нулевой жесткостью (трещины или разрезы). Поверхности и кривые, на которых расположены тонкие включения, обычно называют внутренними концентраторами или дефектами. Их присутствие оказывает существенное влияние на прочность тел, поскольку они вызывают значительную концентрацию напряжений вблизи своих негладких участков границы. Таким образом, проблема отыскания напряжений в окрестности включения представляет собой важную задачу.
Упругое тело с тонкими жесткими или упругими включениями является одной из простых моделей композиционного материала. Изучению подобного рода моделей посвящено большое число работ. Впервые задача теории упругости о растяжении бесконечной пластинки с абсолютно жестким ядром эллиптической формы была рассмотрена Н. И. Мусхелишвили в [28]. Используя предельный переход в найденном им решении, можно получить результат и в случае тонкого жесткого включения. Задачи о прямолинейных тонких жестких включений, расположенных на линии раздела двух изотропных упругих сред и полностью сцепленных с ними, исследовались в работах [34, 66, 67, 73, 106].
В процессе изготовления или эксплуатации материала включения могут частично или полностью отслаиваться от матрицы, образуя тем самым трещи-

ны. Случай полного отслоения жесткого включения от упругой матрицы при отсутствии контакта рассматривался в [34, 68, 100]. Цикл работ [9, 27, 43] посвящен применению аппарата теории краевых задач на римановых поверхностях для определения напряженно-деформированного состояния кусочно-однородной упругой плоскости с одним или несколькими тонкими жесткими прямолинейными включениями на границе раздела. При этом предполагается, что одно из включений отслаивается и контактирует со средой подобно гладкому жесткому штампу. Отметим также монографию [3], в которой изучалось взаимовлияние жестких линейных включений и трещин. Расчет напряженно-деформированного состояния анизотропной пластины, содержащей криволинейный тонкие жесткие включения и трещины проведен в [25].
Классический подход к описанию трещин, имеющий почти вековую историю, оперирует краевыми условиями вида равенств: на противоположных берегах трещины задаются значения компонент вектора перемещений или вектора поверхностных сил. Именно, пусть 7 — гладкая поверхность (или кривая), соответствующая трещине. Обозначим через и вектор единичной нормали к 7, определяющий положительный 7+ и отрицательный 7“ берега трещины. Тогда
и, = д* или £7у1/; = на 7*,
где иг суть компоненты вектора перемещений, аг] — компоненты тензора напряжений, а д*, к^ — некоторые заданные функции. Основы классической теории изложены в работах [6, 7, 26, 31, 42, 53, 54, 103]. В математическом плане центральной особенностью краевых задач для тел с трещинами является постановка в негладкой области, содержащей разрез. Теория краевых задач для эллиптических операторов в областях с особенностями, в частности, с коническими точками, углами, ребрами и пиками развита в [14, 24, 29, 77, 78].
Неоднократно отмечалось, что в ряде ситуаций задачи линейной теории упругости с краевыми условиями вида равенств на берегах трещины допускают физически невозможные решения, описывающие взаимное проникание берегов

Именно, пусть
Я£(Ц) = {у Е НЩ) | г> = 0 на Г },
где Я1(Г2^) — пространство Соболева функций, суммируемых с квадратом вместе с первыми производными в Определим выпуклое замкнутое В Яр(П*)2 множество допустимых перемещений
К = {и = (г>1,ъ>2) е #г(Ц) I [v]v ^ 0 на Г8 U 7; ц|7- € R(%), г = 1,2}. На пространстве Яр(Г27)2 рассмотрим функционал потенциальной энергии
П(Г2*; х0] v) =

аг]{у)£г]{у) -
f t с•
П» П»
Существует единственное решение задачи минимизации
inf П(П7;то;'у).
Это решение удовлетворяет вариационному неравенству
аго(и)£г](у — и) -
и Е К,
ft(vt — иг) ^ 0 для всех v Е К.
(2.8)
(2.9)
Формулировки (2.1)-(2.7) и (2.8)-(2.9) эквивалентны на достаточно гладких решениях: любое решение (2.1)—(2.7) удовлетворяет (2.8)—(2.9), и обратно, все соотношения (2.1)-(2.7) можно получить из (2.8)—(2.8), выбирая подходящие пробные функции (см. [88]).
Необходимо отметить, что доказательство однозначной разрешимости краевой задачи (2.1)—(2.7), основанное на вариационном подходе, справедливо и в случае, когда / € Ь2(П)2, ачи Е Ь°°(С1), г, ], к, I = 1,2. Предположения о гладкости функции внешних нагрузок и коэффициентов тензора модулей упругости понадобятся нам для дальнейшего анализа свойств решения задачи (2.1)—(2.7).