Формы представления и конкретизация определяющих соотношений нелинейной теории упругости

• Автор: Козлов, Виктор Вячеславович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Введение
I. Кинематика конечного деформирования, теория напряжений, формы записи уравнений равновесия
1.1. Кинематика, меры деформаций
1.1.1. Основные меры деформаций, используемые в нелинейной теории упругости, связь между ними
1.1.2. Инварианты мер деформаций, их геометрический смысл
1.2. Теория напряжений, меры напряжений
1.3. Формы записи уравнений равновесия при конечном деформировании твердого тела
1.4. Элементарная работа и мощность, сопряженные меры напряжений и деформаций
II. Определяющие соотношения нелинейной теории упругости
2.1. Гипотеза о параметрах состояния. Термодинамические соотношения
2.2. Построение соотношений, определяющих состояние нелинейноупругого тела
2.2.1. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для сжимаемых материалов
2.2.2. Определяющие соотношения для сжимаемых материалов, разделяющие изменение формы и объема
2.2.3. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов
2.2.4. Определяющие соотношения на основе естественных инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов
2.3. Анализ известных представлений свободной энергии сжимаемых сред для изотермических процессов
2.3.1. Свободная энергия сжимаемых материалов как функция естественных инвариантов тензора деформаций
2.3.2. Свободная энергия сжимаемых материалов как функция инвариантов тензора Коши-Грина

2.3.3. Учет нелинейных эффектов для сжимаемых материалов
2.4. Анализ известных представлений свободной энергии несжимаемых сред для изотермических процессов
2.4.1. Известные формы свободной энергии несжимаемых материалов
2.4.2. Учет нелинейных эффектов для несжимаемых материалов
2.5. Выводы по главе
III. Однородные деформированные состояния, их связь с экспериментом
3.1. Простое растяжение-сжатие
3.1.1. Сжимаемые материалы
3.1.2. Несжимаемые материалы
3.2. Чистый сдвиг по деформациям и напряжениям
3.2.1. Чистый сдвиг по деформациям несжимаемого материала
3.2.2. Чистый сдвиг по напряжениям несжимаемого материала
3.3. Выводы по главе
IV. Неоднородные деформированные состояния
4.1. Постановка задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра для несжимаемого материала
4.1.1. Кинематика процесса
4.1.2. Связь между тензорами напряжений и мерами деформаций
4.1.3. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций
4.2. Метод решения задачи. Основные результаты
4.3. Постановка задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра для сжимаемого материала
4.3.1. Кинематика процесса
4.3.2. Связь между тензорам напряжений и мерами деформаций
4.3.3. Уравнение равновесия и разрешающие уравнения для неизвестных функций
4.4. Метод решения задачи. Основные результаты
4.5. Сравнение результатов для моделей сжимаемого и несжимаемого материалов
4.6. Выводы по главе
Заключение
Список литературы
Введение.
Построение математических моделей состояния материалов, универсально работающих при различных условиях нагружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформируемого твердого тела. Центральной проблемой при этом является формулировка соотношений между напряжениями и деформациями. Инженерная практика постоянно требует совершенствования методики расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений.
Данная работа посвящена изучению определяющих соотношений нелинейно-упругих материалов, которые находят всё большее применение в технике.
Нелинейные варианты теории упругости наиболее развиты для изотропных материалов, о которых и пойдет речь в настоящей диссертации. Впервые изложение основ нелинейной теории упругости было дано в моно-графиии В. В. Новожилова [50], изданной в 1948 году. Дальнейшее становление этой отрасли знаний связано с исследованиями И.И, Гольденблата [16], Л.А. Толоконникова [70], В. Новацкого [51], К.Ф. Черныха [76-78] и других авторов. Нелинейной теории упругости посвящены монографии А.И. Лурье [32, 33].
В основе моделей поведения упругих тел, учитывающих геометрическую нелинейность, лежит кинематика конечных деформаций, наиболее полно изложенная в книгах Л.И. Седова [62,63], А.И. Лурье [32,33], В.В. Новожилова, К.Ф. Черныха [53,76-78], а также нашедшая своё отражение в работах [11, 15, 16, 18, 28, 34, 35, 38, 56, 66] и многих других.
Таким образом, к настоящему времени накопилось достаточно много подходов к построению определяющих соотношений нелинейной теории упругости. В данной работе производится анализ этих подходов, которым посвящено большое количество работ, в том числе [5, 10-13, 30, 34-41, 46, 48,49, 54, 56, 57, 64-66, 68, 72, 76, 78, 81, 82].

Подбором констант в (2.3.16), (2.3.17) невозможно удовлетворить частному постулату изотропии Ильюшина. Такой вывод основан на выражениях естественных инвариантов левого тензора Генки, которые можно получить из алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина по формулам (1.1.17)-(1.1.25). Очевидно, что при попытке построения этих зависимостей каждый алгебраический инвариант е будет нелинейно зависеть от всех естественных инвариантов Г. Таким образом, угол вида войдет в преобразованную свободную энергию у/ = у/(в,э,у,Т}.
2.3.3. Учет нелинейных эффектов для сжимаемых материалов
Рассмотрим возможные, экспериментально наблюдаемые эффекты при конечных деформациях сжимаемых материалов
1. Разносопротивляемость всестороннему растяжению или сжатию или её отсутствие.
Данный эффект состоит в отклонении с ростом изменения объема зависимости сг0 (9) при в > 0 от <т0 (#) при в < 0. При этом деформация полагается чисто объемной = Г2 = Г3 = .
Использование выражения свободной энергии в виде ./2,./3)
даже в простейшем случае формы Гузя у/ = с,,/,2 +с2У2 навязывает материалу
объемную разносопротивляемость, так как подобный подход дает, что
1 п( 2„

Для соотношения Мурнагана разносопротивляемость также имеет место при произвольных материальных константах, так как гидростатическая составляющая примет вид

Рассмотрим представление свободной энергии как функции двух естественных инвариантов тензора Генки и температуры у/ = у/(э,0,Т). Данное выражение позволяет отразить как наличие, так и отсутствие объемной разносопротивляемости. Действительно, если в представлении (2.3.1)
у/(в,э) = у/э(э) + у/в(в)