Распространение нелинейных изгибных волн в балке Тимошенко

• Автор: Семерикова, Надежда Петровна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с. : ил.

Глава 1. Солитоны и нелинейные периодические волны в стержнях, пластинах и оболочках (обзор)
1.1. Продольные волны в стержнях
1.2. Изгибные волны в стержнях
1.3. Крутильные волны в стержнях
1.4. Волны в пластинах
1.5. Волны в оболочках
Глава 2. Нелинейные квазигармонические изгибные волны
2.1. Сравнительный анализ основных математических моделей изгибных колебаний стержней
2.2. Вариационный принцип построения нелинейных моделей стержней
2.3. Уравнения динамики балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей
2.4. Исследование модуляционной неустойчивости квазигармонических изгибных волн
2.5. Осциллятор с нелинейностью в отрицательной степени. Аналитические решения и качественный анализ
2.6. Стационарные волны огибающих
Глава 3. Несинусоидальные стационарные волны
3.1. Сведение уравнения динамики балки Тимошенко к уравнению Дуффинга
3.2. Анализ ограниченных решений уравнения Дуффинга
3.3. Анализ различных случаев поведения стационарных волн
3.4. Нелинейные дисперсионные соотношения
3.5. Вычисление констант упругости четвертого порядка по параметрам нелинейной стационарной волны
Заключение
Список литературы
Диссертационная работа посвящена исследованию распространения нелинейных изгибных волн в балке Тимошенко.
Актуальность темы.
В задачах динамики упругих конструкций традиционно уделяется большое внимание распространению изгибных волн в стержнях и стержневых системах. В качестве базовой модели для проведения анализа часто выбирается математическая модель балки, предложенная С.П.Тимошенко. Эта модель, уточняющая техническую теорию изгиба стержней, предполагает, что поперечные сечения остаются плоскими, но не перпендикулярными деформируемой срединной линии стержня; нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, равны нулю; учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотом поперечных сечений.
Модель балки Тимошенко занимает особое место в механике: позволяя хорошо описывать многие статические и динамические процессы, происходящие в реальных конструкциях, она остается достаточно простой, доступной для аналитических исследований.
Непрерывное увеличение быстродействия и удельной мощности машин и механизмов, ' забота о снижении веса конструкции при сохранении ее надежности в работе, а также широкое внедрение в современную технику новых композиционных материалов требуют более полного исследования реального напряженно-деформированного состояния. Для этого часто оказывается недостаточно классических линейных теорий и необходимо рассматривать теории более высоких приближений, учитывающих, в частности, геометрическую и физическую нелинейности.
Нелинейные искажения, возникающие при распространении интенсивных изгибных волн, могут накапливаться с течением времени и при определенных условиях приведут к сильному укручению волновых фронтов и существенному изменению всего волнового процесса. Это, в свою очередь, может вызвать появление больших упругих напряжений, необратимых деформаций в материале и привести к локальной потере устойчивости. Интерес к изучению нелинейных волновых процессов связан с возможностью возникновения даже в простых элементах упругих конструкций специфических нелинейных режимов. С одной стороны, эффекты формирования нелинейных волн с большими градиентами напряжений и деформаций оказываются нежелательными, поскольку могут приводить к разрушению или пластическому

течению материала, но, с другой стороны, - они могут быть полезными и найти применение в технологиях обработки материалов, в дефектоскопии и технической диагностике. Теоретические расчеты параметров нелинейных волн необходимы для изучения свойств новых конструкционных материалов, в частности, измерения нелинейных модулей упругости.
Цели работы :
- вывод уравнения балки Тимошенко, учитывающего геометрическую и физическую упругие нелинейности;
- аналитические решения ряда задач о распространении квазигармонических и существенно несинусоидальных изгибных волн в балке Тимошенко.
Научная новизна:
Научная новизна работы заключается в следующем:
получена система уравнений балки Тимошенко с учетом геометрической и физической нелинейностей;
система нелинейных уравнений балки Тимошенко в предположении малости углов поворота поперечных сечений сведена к одному уравнению относительно поперечного перемещения;
в рамках полученной модели исследована модуляционная неустойчивость изгибных волн, а также получены аналитические решения стационарных волн огибающих;
получены аналитические решения, описывающие существенно нелинейные стационарные волны деформации, как периодические, так и солитоны.
проведен анализ качественно различных случаев поведения нелинейных волн, распространяющихся в металлических балках и балках из композиционных материалов.
предложен и теоретически обоснован новый метод определения констант упругости четвертого порядка
Практическая значимость
Основные результаты диссертационной работы были получены в ходе выполнения научно-исследовательских программ Нф ИМАШ РАН по теме «Динамика волновых движений механических систем»; при выполнении работ по Федеральной целевой программе «Интеграция» 1997-2003 г.г. - проект № 0542 : Региональный учебно-научный центр «Механика материалов и конструкций» (рук.академик Митенков Ф.М., проф. Баженов В.Г.); по грантам
г,1 /„ ЭгГэ2гУ 1/„ „ . /зжУ
М.(2о>+а,)—^ + г? + + л"йГ
В уравнении (2.39) перейдем к новым безразмерным переменным
х'=—, С = -4 Ш'=— (2.40)
Агу Агу 1У0
Здесь 1¥0- максимальная амплитуда изгибной волны, Л
безразмерная длина волны. В дальнейшем для удобства штрихи над
безразмерными переменными опустим. Тогда уравнение (2.39) в
безразмерных переменных будет иметь вид
дЖ 1 'дЖ
812 +Л2 дх4 (
дЖ С0 дЖ

КС) )дх2д11 КС) Эг4
(2.41)
1 чу
РоС)

I дх
2а.
^(?жГ+{ Ж3
2 ах ах2 ^ 4 3 4 6дх)
С2 '-'0 1 53 2а2 +а5
КС) л2 &а2 Л2
С2 0 1 д} 2аг +а5
КС) Л2 дх} Л2
дх I дх2
1 4а,7, Г
Л2 дх2 //М
д 2а: + а5
дх Л2 5х
+ (2а3+2а4+4а6)0^
Нелинейные слагаемые, стоящие в правой части уравнения (2.41), при рассмотрении длинноволновых процессов имеют различный порядок малости. Доминирующими среди них являются слагаемые,
содержащие нелинейность • Поэтому в первом приближении