Развитие трещин в анизотропных электроупругих средах

• Автор: Куликов, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 106 с.

1 Формула Гриффитса для трещины в пьезоэлектрической среде
1.1 Матричная форма записи определяющих соотношений
1.2 Сведение к интегро-дифференциальной задаче
1.3 Степенные решения модельной задачи
1.4 Скорость высвобождения энергии при продвижении трещины
2 Сингулярности полей в пьезоэлектрических и электропроводящих телах
2.1 Запись определяющих соотношений в матричной форме
2.2 Разрешимость задачи в комплексной форме
2.3 Разрешимость модельной задачи и полиномиальное свойство
2.4 Сведение к интегро-дифференциальной задаче
2.5 Степенно-логарифмические решения и общее строение спектра
2.6 Базисы степенных решений, адаптированные к критериям разрушения
3 Принцип соответствия в плоских задачах о прямолиненом развитии трещин
3.1 Аффинные преобразования в плоской задаче анизотропной теории
упругости
3.2 Алгебраические преобразования задач теории упругости

3.3 Сингулярные составляющие напряженного состояния вблизи трещи

3.4 Преобразование сингулярных составляющих при замене координат
3.5 Вариационно-асимптотическая модель квазистатического роста тре -щины
3.6 Принцип соответствия
3.7 Инвариантные интегралы
Литература

Потребность применения пьезокерамических преобразователей в ультраакустике, радиоэлектронике, измерительной и вычислительной технике привело в последние десятилетия к интенсивному развитию раздела механики деформируемого твердого тела, получившему название электроупругостъ. Данное направление, беря за основу использование физических свойств естественных кристаллов и керамик искуственного происхождения, изучает механику связанных механических и электрических полей в соответствующих элементах конструкций.
После открытия пьезоэффекта братьями Жаком и Пьером Кюри и классического трактата В. Фойгта [89], теория электроупругости получила развитие в трудах: У. Мэзон [41] 1952г., Дж. Най [61) 1960г., В. Новацкий [62] 1961г., Д. Бер-линкур, Д. Керран, Г. Жаффе [10] 1966г., A.A. Ильюшин [21] 1978г., Л.И. Седов [68] 1983г. и др. Дальнейшее развитие механики связанных полей в пьезоэлектриках связано с постановкой граничных задач электроупругости и разработкой методов их решения. Здесь стоит упомянуть работы следующих авторов: Дж. Барроут [8], Б.А. Кудрявцев [30], В.М. Баженов, Г.В. Куценко, А.Ф. Улитко [6], A.C. Космодамианский, А.П. Кравченко, В.Н. Ложкин [26], И.Б. Половинкина, А.Ф. Улитко [65], Z.T. Kurlandska [82], A.B. Белоконь, И.И. Воронин [9], Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, В.И. Ракитин [31], Б.А. Кудрявцев, В.И. Ракитин [33], А.Ф. Улитко [70], Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, H.A. Сеник [32], В.А. Кокунов, Б.А. Кудрявцев, H.A. Сеник [23], А.О. Ватульян, В.Л. Кубликов [13], В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульта [18], Y.E. Рак [87], С.А. Амбарцумян, М.В. Белубекян [3], Z. Suo, C.М. Kuo, D.M. Barnett, J.R. Willis [88] и др. Достаточно полный обзор статей, опубликованных до 1980 года, содержится в работе [29].
Как и в обычной механике деформируемого твердого тела, наиболее просто поддаются анализу двумерные статические задачи электроупругости о плоской и

Вариационная формулировка задачи электроупругости для ограниченного плоского тела Г2 выглядит следующим образом: требуется найти элемент и 6 Я*(П)| х Z/1 (О)j_, для которого выполняется интегральное тождество
2Е (u, v; ft) = F(v) V v € Н'Щ x НП)±. (2.3.5)
Здесь функционал F, непрерывный на Я1 (11)']] х Н1(П)±, может быть задан фор-мулами

F(v) = (g°, v)sn + (Г, v)n + ^(fj, V,Vi)n,
3=1 (2.3.6)
g°еЬ2(дП) ГбТ2(Ш)4, P G i2(fi)2, j = 1,... ,4.
Если граница Ш, решение и и правые части f9, g° гладкие всюду, кроме вершины трещины, ТО ВВИДУ произвольности пробной функции V 6 Co°(f})jl X Cg°(tt)± вариационная задача (2.3.5) при помощи формулы Грина (2.2.5)i переделывается в краевую задачу (ср. с (2.2.2), (2.2.3))
L±(Vx)u±(x) = Я(—Vx)TA±D(VI)u±(o:) = f^x), х 6 П±,
(2.3.7)
B±(z, V^ir^x) = D(n(x))TA±D(VI)u±(x) = g±(x), х 6 (<ЗП)±, снабженную условиями сопряжения
u+(x) = u_(x), В+(х, Vx)u+(x) — В~(х, Vx)u~(x) = g4(x) (2.3.8)
на сегменте (isd : Xi > 0, х2 = 0}. При этом правые части имеют вид

f± =f0-J2eiv* g*-*-+£п(х)Т{3> g1 = g+ -g
j=i j=i
а физически осмысленным является случай g1 = 0.
Благодаря упомянутым свойствам квадратичной формы (2.2.4) и неравенствам (2.3.4) лемма Лакса-Мильграма доставляет следующее утверждение