Эффекты второго порядка в задачах растяжения, кручения и изгиба нелинейно-упругих тел

• Автор: Калашников, Виталий Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 119 с. : ил.

ГЛАВА 1. КРУЧЕНИЕ КРУГОВОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО
СТЕРЖНЯ
1Л. Нелинейные эффекты при кручении
1.2. Способы определения величины эффекта Пойнтинга
1.2 Л. Метод разложения в ряд
1.2.2, Полуобратный метод теории упругости
1.3. Причины расхождения методов. Влияние способа реализации граничных условий на решение
1.3.1. Метод разложения в ряд в задаче об одноосном растяжении стержня
1.3.2. Влияние способа приложения нагрузки в задаче кручения
1.3.3. Однородные решения
1.3.4. Об использовании принципа Сен-Венана при определении интегральных деформационных характеристик
ГЛАВА 2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ЧИСТОГО ИЗГИБА НЕЛИНЕЙНОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ
2.1. Особенности полуобратного представления деформации
чистого изгиба стержня

2.2. Решение для полулинейного материала и модификация
полу обратного представления
2.3. Решение методом разложения в ряд
2.3.1. Полулинейный материал
2.3.2. Упрощенная модель Б л ейтца и Ко
2.3.3. Пятиконстантная модель Мурнагана
2.4. Исследование эффектов второго порядка
2.4.1. Изгибающий момент
2.4.2. Относительное изменение толщины стержня
2.4.3. Положение нейтральной линии
2.4.4. Об определении констант материала Мурнагана
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
В настоящее время нелинейная теория упругости представляет собой обширную и стремительно развивающуюся область знаний. Опираясь на фундаментальные результаты линейной теории, эта наука стала интенсивно развиваться в середине прошлого века. Интерес исследователей к нелинейным проблемам был вызван несколькими причинами. В первую очередь, следует выделить появление новых материалов, которые обладают ярко выраженными нелинейными свойствами: высокоэластичные резиноподобные материалы, вязкоупругие полимеры. Нелинейная теория упругости получает все большее распространение при описании тканей живых организмов. В настоящее время, именно биомеханика является одним из приоритетных направлений развития нелинейной теории упругости, в области которой имеется огромное количество не рассматриваемых ранее материалов, свойства которых еще предстоит описать. В общем случае, для того, чтобы выяснить характеристики материалов с некоторыми определяющими соотношениями на основе основных экспериментов, требуется создавать модели, способные учитывать их нелинейное поведение. С помощью линейной теории невозможно описать ряд явлений, которые наблюдаются экспериментально и вполне описываются нелинейной теорией: удлинение стержня при кручении, изменение толщины стержня при изгибе и другие.
В то же время, как показывает практика, решение краевых задач нелинейной теории упругости в большинстве случае затруднено, поскольку используемые в них упругие потенциалы представляют собой достаточно сложные выражения, что приводит к необходимости решения существенно нелинейных краевых задач, решение не удается отыскать в аналитическом виде. В таких случаях, в зависимости от целей поставленной задачи, решение может быть проведено численно или найдено асимптотически методом разложений в ряд (А. 81§попш, 1930). Некоторое неудобство численных методов

приближенного выполнения второго условия, используется свойство «обобщенной ортогональности» однородных решений.
Задача определения коэффициентов М5, N.. сводится к отысканию минимума квадратичного отклонения
|г п
ч/(м„л',)= / ф(Д+ ІмЛ- «Л
0І 5
что приводит к системе 2п линейных уравнений
хйх,
=0, -^- = 0, * = 1,2,...и,

или, в развернутом виде,
Ё(4Л +В,№)=ук, +СЛЛГ,) = |)к,
5=1 5
где обозначено
Аа=Ль={$'^'К%'Цр)<йх,

= -(а^^уКт^^’г))хйх,
(1.52)
(1.53)
Сл=Сь = /(оИа?*') + №М)сйх.
(1.54)
Примем в качестве функции Ф(х) выражение (1.37), построим комплексные функции о^(х,Р5), т^(х,Р^) по формулам (1.48). Рассмотрим 2 случая: 1) п-10 и 2) я - 20; таким образом, будем решать две системы уравнений для определения констант М5,Ы5 (1.52) порядка [их«]. Выражения