Решение некоторых задач механики деформируемого твердого тела в рамках неевклидовой модели сплошной среды

• Автор: Парошин, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 130 с.

Введение

Глава I. Классическая модель упругой среды
1.1 Уравнение состояния
1.2 Уравнение совместности
1.3 Решение задачи деформирования упругой среды с цилиндрической полостью
1.4 Задача деформирования упругой среды с полостью сферического типа
Глава II. Построение неклассических моделей
11.1 Постановка задачи
11.2 Общая идея решения задачи
11.3 Структура поля напряжений
11.4 Спектральное уравнение для функции несовместности
11.5 Вариационный вывод уравнения равновесия с учетом поля самоуравновешенных напряжений
Глава III. Термодинамическая корректность соотношений неклассической модели
III. 1 Редукция к неевклидовой модели сплошной среды
111.2 Уравнение состояния
111.3 Выбор потенциала
111.4 Спектральная задача
Глава IV. Решение задачи с цилиндрической полостью
IV. 1 Основные соотношения
IV.2 Решение задачи в условиях плосконапряженного состояния
среды
1У.З Решение задачи в условиях плоской деформации

IV.4 Численные расчеты
Глава V. Решение задачи с шаровой полостью
V.1 Постановка задачи
У.2 Нахождение решений для функции дефектности и первого
инварианта тензора напряжений
У.З Нахождение компонент тензора напряжений
Заключение
Пр иложение
Литература
Введение
Одним из наиболее актуальных направлений механики деформируемого твердого тела является описание неупругого поведения материалов. Необходимость решать такие задачи часто возникает при моделировании характеристик реальных материалов при больших внешних нагрузках. Трудность решения таких задач связана с невозможностью описания внутренней структуры материала в рамках единой математической модели. Чтобы преодолеть эти трудности в рассматриваемом материале выделяют области с различным физикомеханическим поведением среды: упругим, пластическим и т.д. В каждой из областей используется собственный способ описания, а затем решения сшиваются через краевые условия на границе областей.
В механике деформируемого твердого тела построены различные теории, позволяющие определять поведение материалов. В теории упругости, см., например [1-4], предполагается, что процесс деформирования является обратимым, то есть материал возвращается в первоначальное состояние при снятии внешних нагрузок. Основной кинематической гипотезой теории упругости [1,2] является гипотеза сплошности. С точки зрения физики это предположение соответствует тому, что упругое тело имеет структуру идеального кристалла, не содержащего дефекты. Если мы задаем движение среды в переменных Эйлера, тогда в качестве меры полной деформации используется тензор Альманси , который, по предположению теории упругости,
совпадает с тензором упругой деформации £у . Чтобы записать
уравнения состояния материала, необходимо задать внутреннюю энергию как функцию энтропии и тензора £у . Эти соотношения
следует дополнить законами сохранения, сформулировать начальные и

нице и на бесконечности, получим представление для отличных от нуля компонент тензора напряжений:
агг(г) = Р1ст<Р'Р(г) = Рт+Рю!, а22(г) = 2-^—Рт. (1.45)
Г1 Г 1 + V
Кроме случая плоской деформации, задачу можно решать и в условиях плосконапряженного состояния. Тогда выполняется уравнение равновесия (1.39) и уравнение совместности (1.38) с краевыми условиями в виде (1.40) и иГ(/} -аГ2 =ст(рг = <у22 =0. Разница в решениях задачи для плоской деформации и плосконапряженного состояния лишь в величине компоненты тензора напряжений <т12. В плосконапряженной постановке задачи сгг2 =0, а в условиях плоской деформации она определяется через первый инвариант тензора напряжений (1.41).
1.4 Задача деформирования упругой среды с полостью сферического типа
Рассматривается стационарная задача о распределении поля напряжений в среде с шаровой полостью при всестороннем сжатии. Задача решается в сферических координатах {г,<р,в}, начало которых совпадает с центром полости — шара радиуса г0. Уравнения равновесия (1.36) записываются в сферической системе координат в виде [3]:
ЭсТ 1 г <р 1 С’СТ д 2<Угг ~&(р(п ~ &00 аг<р „ п
+ —— + +--------—-------+ —-МеО = 0,
дг гвт# д(р г 80 г
д&г(р 1 дсГрр 1 сст0() Зет, + 2(т 1р0С(§д
г. + —---------+--------?_ +---г.----г.---= о (1.46)
дг /-5Ш0 д(р г дв г
д(Угд 1 ЗсТфО 1 д(Удд 2><УГ1р + {р’до ~ О(р<р)р($*9 ^
— | - | | — 0.
дг г$х д(р г дО г