Решение пространственных задач моментной теории упругости методами многомерного комплексного анализа

• Автор: Титоренко, Дмитрий Федорович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 135 с. : ил

Оглавление
Введение
Г лава 1. Краткий исторический обзор применения теории функций нескольких комплексных переменных и моментной теории упругости.
Г лава 2. Алгебраический анализ голоморфного разложения решений
комплексифицированных систем линейных дифференциальных уравнений математической физики и теории упругости.
2.1. Классификация комплексифицированных уравнений первого порядка.
2.2. Классификация комплексифицированных уравнений второго порядка.
2.3. Классификация комплексифицированных уравнений п-ого порядка.
2.4. Пример плоской задачи теории упругости.
2.5. Классификация комплексифицированных уравнений первого порядка двух функций двух переменных.
2.6. Классификация комплексифицированных уравнений второго порядка двух функций двух переменных.
2.7. Пример классификации комплексифицированных уравнений Ламе трехмерной теории упругости.
Глава 3. Решения пространственных статических задач теории упругости Коссера методами многомерного комплексного анализа.
3.1. Комплексификация уравнений трехмерной теории упругости Коссера.
3.2. Получение общего решения комплексифицированных уравнений теории упругости Коссера по степенным функциям.

Глава 4. Примеры, иллюстрирующие применение построенного
алгоритма.
4.1. Получение системы частных решений уравнений трехмерной теории упругости Коссера.
4.2. Задача о растяжении конечного цилиндра.
4.3. Задача о кручении конечного цилиндра.
4.4. Задача о растяжении конечного цилиндра с симметричным боковым вырезом.
4.5. Задача о растяжении конечного цилиндра с боковым шаровым вырезом.
Заключение
Литература

Введение.
Решение плоских задач математической физики с помощью теории функции комплексных переменных известны уже достаточно давно. В последнее время методы комплексного анализа были распространены и на трехмерные задачи классической теории упругости.
В основе использования теории функций двух и более комплексных переменных лежит идея поиска решения в форме голоморфного разложения искомых функций комплексифицированных уравнений математической физики подсказанная известным решением Колосова - Мусхелишвили для плоских задач теории упругости. Переход к трехмерным задачам, как правило, приводит к тому, что голоморфное разложение решения принимает в отличие от трехчленной формулы Колосова - Мусхелишвили форму бесконечного ряда, слагаемые которого выражаются через конечное число голоморфных функций.
В данной работе проведен алгебраический анализ конечности степенного голоморфного разложения для решений
комплексифицированных систем линейных дифференциальных уравнений математической физики в частности теории упругости.
Основное внимание в работе уделяется моментной теории упругости или теории упругости Коссера, для которой голоморфное разложение - аналог формул Колосова - Мусхелишвили, бесконечно.
С помощью теории функции двух комплексных переменных получено общее решение трехмерных задач теории упругости Коссера. Возможность применения теории функции двух комплексных переменных к исследованию таких задач основывается на рассмотрении трехмерных тел, как сечений четырехмерных тел гиперплоскостью, что позволяет ввести двухмерную комплексную структуру в пространстве четырех действительных переменных и искать решение уравнений в виде голоморфных разложений, получая систему зацепляющихся дифференциальных уравнений. Получаемая система уравнений имеет

Рассмотрим случай, когда ёе(: = 0. Соотношения (2.5.20) нельзя
ОДНОЗНаЧНО реШИТЬ ОТНОСИТеЛЬНО фуНКЦИЙ ф|[+1Д2 (21 ’22)> Ф'н-игСьА)’
ф”щ2(21>22)> Ф!1+1,12(2н22)> и уравнения (2.5.20) требуют специального
изучения.
Перепишем уравнение (2.5.20) в следующем виде
(П + 1)-А-
Ф|Т+1,12 (ФадгЗг, (5*ЛД2)г
Фи+1Д2 =-в (ФпД2 )г. + Б- (ФиД2)г
Фи+Ц2 (ф!!д2 )г. (ср!!д2)г
Ф[}+Ц2 _ (ФцД2 )г, _(ФРи2)^_
(2.5.25)

1 > Ви с,, О,Г А13 В,з 1и Дз"
В« А13 0,з Сп ; в = Ви А11 0,1 Си
а2| в2, С21 021 А23 В 23 С23 О
В 23 А 23 023 С 23 _в21 А21 о2, с2,_

А12 — А14 В12 — В|4 С,2 О 1 ^12 — &
В,4 ~В,2 А [4 - А,2 0,4 Си — С[
А 22 -А24 в22 - в24 С 22 _С24 °22 “^
Д24 -в22 А 24 - А22 О 24 “^22 С 24 _с
Приведем матрицу А к Жордановой форме.
Пусть О Жорданова форма матрицы А, а Т матрица преобразующая матрицу А к Жордановой форме

11 *12 Чз
21 {22 *23 *
31 132 Ьз *
41 *42 *43 *
(2.5.26)
Для того, чтобы с1« = 0 собственные числа матрицы А должны быть следующего вида:
— Х,{ = 0 , Я2 ^ О, А3 ^ 0, А4 ф 0, Я2 5й А3 ф Я-4 *,
— Я]=0, Я2 ^ 0, Л3 * 0, Я4 ^ 0 , Я2 = А3 Ф Я4
— Я| — О , Я2 ф 0, А3 ^ 0, Я4 ^ 0, Я2 = А3 = Я4
— Я1=Я2:=0, А3 * 0, Я4 ^ 0, Я3 ф Я4 ^ (2.5.27)
— Я] = Я2 = 0, А3 ^ 0, Я4 ф 0, Я3=Я4^