Моделирование магнитодеформационного эффекта в ферроэластах

• Автор: Столбов, Олег Валерьевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 124 с. : ил.

1 Постановка задачи магнитоупругости
1.1 Физические основы магнитодеформационного эффекта
1.2 Обзор литературы по моделированию магнитоупругости
1.3 Концептуальная постановка задачи магнитоупругости
1.4 Математическая постановка задачи магнитоупругости
1.4.1 Дифференциальная постановка
1.4.2 Вариационная постановка
2 Моделирование магнитодеформационного эффекта в приближении одной степени свободы
2.1 Случай малых деформаций
2.1.1 Классическая оценка Ландау
2.1.2 Вспомогательные соотношения задачи МДЭ для эллипсоида
2.1.3 Модель МДЭ для шара
2.1.4 Модель МДЭ для эллипсоида вращения
2.2 Модель МДЭ при больших однородных деформациях шара
2.2.1 Уравнения кинематики и магнитостатики
2.2.2 Решение задачи вариационным подходом
2.2.3 Решение задачи на основе энергетического подхода
2.2.4 Анализ полученных результатов решения
3 Моделирование магнитодеформационного эффекта в приближении малых деформаций
3.1 МДЭ в шаре
3.1.1 Точное решение задачи
3.1.2 Анализ результатов
3.2 МДЭ в эллипсоиде вращения
3.2.1 Методика численного решения задачи
3.2.2 Анализ результатов
3.3 МДЭ в полом шаре
3.3.1 Постановка и решение задачи магнитостатики в сферической системе координат

3.3.2 Методика численного решения задачи упругости
3.3.3 Аналитическое решение задачи о МДЭ в приближении теории оболочек
3.3.4 Анализ результатов
4 Методика численного решения осесимметричной задачи о магнитодеформационном эффекте при больших деформациях
4.1 Вывод вариационных уравнений для пакета FreeFem++
4.1.1 Задача упругости
4.1.2 Задача магнитостатики
4.2 Описания пакета FreeFEM++ для решения систем уравнений в частных производных с помощью метода конечных элементов
4.3 Общий алгоритм численного решения связанной задачи маг-нитоупругости
4.3.1 Алгоритм решения задачи магнитостатики
4.3.2 Алгоритм решения связанной задачи магнитоупругости
4.4 Решение тестовых задач и исследование сходимости численного алгоритма
5 Результаты численного решения некоторых задач магнитоупругости для тел осесимметричной формы
5.1 Анализ результатов моделирования МДЭ для шара
5.2 Сравнение результатов численного моделирования МДЭ для цилиндра с экспериментом
5.3 Исследования особенностей деформирования мембраны под действием магнитного поля
6 Выводы
Литература
А Приложения
АЛ Вывод выражения для пондеромоторной силы и граничных
условий для задачи упругости
А. 1.1 Пондеромоторная сила
АЛД Представление граничных условий
А.2 Вывод формулы для свободной энергии намагничивающегося тела
А.2.1 Термодинамические соотношения в магнитном поле
А.2.2 Свободная энергия

Основные обозначения
• Величины
Н — вектор магнитного поля,
В — вектор магнитной индукции,
М — вектор намагниченности,
Б — тензор напряжений Максвелла,
Т — тензор напряжений Коши, е —тензор малых деформаций, и — вектор перемещений,
Е — градиент места,
С — мера деформации Коши—Грина, g — единичный тензор 2-ого ранга.
• Операции над векторами и тензорами
М п — скалярное произведение вектора М на вектор п,
НВ — тензорное (диадное) произведение вектора Н па вектор В, ихь — векторное произведение вектора и на вектор V,
А В — двойное скалярное произведение (свертка) тензора 2-ого ранга А и тензора 2-ого ранга В.
• Дифференциальные операторы V- В — дивергенция вектора В,
VхН — ротор вектора Н,
Чф — градиент скаляра ф.

Здесь Н0 — внешнее магнитное поле, М — намагниченность образца, которая зависит от внутреннего поля Н.
Складывая плотность магнитной энергии (2.57) с упругими потенциалом (2.56), получаем функцию Е3(Х, Я0), аргументами которой выступают удлинение и напряжённость приложенного поля.
Для суммарного потенциала Ез в принятых обозначениях имеем
Е8{А, Н0 = [Сг{А2 + 2/Л - 3) + С2(1/Л2 + 2Л - 3) ]

-1 М(Н(Н0, ))с1Но. (2.58) о
Здесь предполагается, что М есть функция только внутреннего поля Я.
В квазистатическом случае магнитодеформационная кривая Л(Я0) определяется из решения уравнения равновесия
Ж = °- <2-59)
Получим его в явном виде. Сначала рассмотрим магнитное слагаемое в (2.58). Найдём

= -^У Л/(Я(Яо,Л))ЙЯ0. (2.60)
дЕ,

Inagn
Так как пределы интегрирования не зависят от Л, то операцию дифференцирования можно внести под интеграл

п^п

/ ^М(Я(Я0,А))<*Я0. (2.61)
Вычислим производную от подынтегрального выражения
Подставляя сюда уравнение связи (2.6) внешнего и внутреннего полей в эллипсоиде, получим
дМ дМд , <9М дЛГ
Ж = днеа(Яо ' 4^М) = -дн + Ы1ЖУ (2'63)