Решение задач нелинейной механики гибких систем методом наилучшей параметризации

• Автор: Данилин, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 290 с. : ил.

1. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
1.1. Основные соотношения
1.2. Уравнения нелинейной теории деформирования
^ 1.3. Уравнения продолжения
2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИф ЗАЦИИ
2.1. Параметризованные уравнения метода конечных элементов
2.2. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях
2.3. Вычисление вектора обобщенных сил и касательной матрицы жесткости
3. НЕЯВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ПАРАМЕТРИЗОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ГИБКИХ СИСТЕМ
* 3.1. Постановка задачи
# 3.2. Параметризация уравнений
3.3. Численная схема решения задачи Коши
3.4. Итерационный процесс
3.5. Сравнительные вычисления
3.6. Оценка локальной погрешности метода и выбор шага интегрищ рования

4. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧАСТНЫХ ЗАДАЧ О НЕЛИНЕЙНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ УПРУГИХ ТЕЛ С ИС- 111 ПОЛЬЗОВАНИЕМ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
4.1. Пространственное деформирование гибкого стержня
4.2. Численные примеры решения задач о нелинейном деформировании гибких стержневых конструкций
4.3. Изгиб стержня из нелинейно-упругого материала
4.4. Моделирование нестационарной динамики
4.5. Конечно-элементная формулировка плоской задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке
41 4.6. Геометрически нелинейное деформирование твердых тел из
нелинейно-упругого материала
5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ АБСОЛЮТНО
• ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ УРАВНЕНИЙ
5.1. Динамика космического аппарата с выпускаемым растяжимым тросом
5.2. Расчет статических состояний воздушных линий электропередачи
6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА СТЕРЖНЕЙ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ ПРЯМОМ ПРЕВРАЩЕНИИ
® 6.1. Определяющие соотношения
6.2. Уравнения состояния и их параметризация
6.3. Примеры моделирования нелинейного изгиба стержней из сплавов с памятью формы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
* ЛИТЕРАТУРА

Из всего многообразия нелинейных задач линейность (пропорциональность) выделяет лишь некоторую «пограничную область», в которой задачи могут быть решены с использованием теории линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Желание распространить хорошо освоенные процедуры линейного анализа на решение нелинейных задач привели к идее их линеаризации, которая помогла заметно расширить область решаемых проблем. Появление быстродействующих вычислительных машин стимулировало развитие численных методов моделирования нелинейных процессов, сводя задачу к большим и, как правило, разреженным системам линейных уравнений, для которых разработаны разнообразные методы решения [117, 130]. Однако остается фактом, что математическая формализация и решение нелинейной задачи, в общем случае, уникальны и требуют специальных исследований.
Механика, по-видимому, является одним из основных «поставщиков» нелинейных задач, предлагаемых для решения научной общественности.
Существенный вклад в развитие механики сложных деформируемых систем и методов решения соответствующих нелинейных задач внесли: H.A. Абросимов [1-3], В.Г. Баженов [2, 3, 6-10], Н.В. Баничук [11], В.В. Белецкий [13, 14], В.В. Васильев [18, 19, 116], A.C. Вольмир [20], А.Г. Горшков [27, 28], Э.И. Григолюк [29-31], В.И. Гуляев [33], JI.B. Докучаев [73], Е.М. Левин [14], А.И. Лурье [93-95], В.Н. Паймушин [118, 119], В.А. Светлицкий [126-128], В.И. Усюкин [133], Ф.Л. Черноусько [139], К.Ф. Черных [140], В.И. Шалашилин [22, 29, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 62, 69-71, 77, 85-89, 118, 119, 141-146, 161, 163, 165], Ф.Н. Шклярчук [28, 32, 39, 42, 116, 147-150, 162], Л.И. Шкутин [151, 152], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], K.-J. Bathe [155, 156], von Flotov A.H. [195], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190, 191-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], E.L. Wilson [155] и др.
2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ
Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время зарекомендовал себя как исключительно мощное средство приближенного решения дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы [20, 75, 96, 129, 155, 156]. Наглядность метода и сравнительная простота применения в случае областей сложной формы сделали его весьма популярным среди широкого круга прикладников и инженеров при решении задач прочности, теплового анализа, динамики жидкости и т.п. [26, 76, 115, 116, 133]. На основе МКЭ создан и успешно эксплуатируется ряд промышленных программных комплексов для прикладных расчетов (ABAQUS, ADINA, COSMOS, MSC-NASTRAN, NE-NASTRAN и др.).
Как известно, МКЭ относится к вариационно-разностным методам и имеет в своей основе представление исходной области со сложной формой границ множеством достаточно простых подобластей (конечных элементов).
Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела вариационная формулировка МКЭ может быть осуществлена на основе четырех принципов [20, 75, 96, 115]: 1) принципа минимума полной энергии системы (метода перемещений); 2) принципа минимума дополнительной энергии системы (метода сил); 3) смешанных принципов (методов Вашицу, Рейснера-Хеллингера и др.); 4) модифицированных принципов минимума полной и дополнительной энергии (гибридных методов). При этом конечный вид уравнений зависит от того, являются ли основные соотношения задачи (деформационные, статические, физические) линейными или нелинейными. После выполнения условий стационарности энергетических функционалов, линейные задачи преобразуются либо к чисто линейной алгебраической проблеме с использо-