О некоторых применениях операторов дробного порядка в вязкоупругости

• Автор: Сургуладзе, Теймураз Александрович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 174 с. : ил.

2.2.2 Способ получения дробных определяющих соотношений вязкоупругости, основанный на анализе частотной
зависимости механических свойств
2.2.3 Метод атемента дробного исчисления
2.2.4 Метод получения определяющих соотношений содержащих дробные
производные Г.Л.Слонимского
2.2.5 Фрактальные реологические модели
2.3 Обзор некоторых недавных работ о применении дробного исчисления в вязкоупругости
3 Некоторые применения дробной функции Грина. Общие определяющие соотношения вязкоупругости, содержащие дробные производные
3.1 Дробная функция Грина
3.1.1 Обобщенное тело Максвелла
3.1.2 Обобщенное тело Кельвина-Фойгта
3.1.3 Обобщенное тело Зенера
3.2 Общие определяющие соотношения вязкоупругости содержащие дробные производные
4 Уравнения движения вязкоупругости в случае определяющих соотношении содержащих дробные производные
4.1 Уравнение движения для всей оси в случае атемента дробного исчисления
« 4.1.1 Случай, когда внешняя нагрузка не зависит от времени
4.1.2 Случай, когда внешняя нагрузка зависит от времени периодически
4.2 Гиперболичность уравнения движения
4.2.1 Случай обобщенного тела Максвелла
4.2.2 Случай обобщенного тела Зенера
4.2.3 Случай общих одномерных определяющих соотношений вязкоупругости, содержащих дробные производные
4.3 Уравнения движения для трехмерной дробной модели вязкоупругости
4.4 О не гиперболичности уравнений движения для
некоторых обобщенных тел
4.5 Вязкоупругий стержень конечной длины
4.5.1 Смешанная задача для вязкоупругого стержня конечной длины
4.5.2 Задача Герасимова о движении жидкости между двумя параллельными плоскостями
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Общее развитие и широкое применение линейной теории вязкоупругости наблюдается сравнительно недавно. Действительно, активность в этой области связана в первую очередь с современным широким распространением и использованием полимерных материалов. Многие из этих новых материалов обладают механическими свойствами, которые нельзя описать с помощью упругой или вязкой моделей механического поведения; в силу этого становится очевидной необходимость построения более общей теории.
Теория упругости может применяться к материалам, которые обладают способностью накапливать механическую энергию, не рассеивая ее. С другой стороны, Ньютоновская вязкая жидкость при гидростатическом напряженном состоянии проявляет способность рассеивать энергию, но не способна ее накапливать. Но тогда эти две теории не могут описать поведения тех материалов, которые способны частично (но не полностью) вернуть работу, затраченную на их деформирование. Такие материалы обладают способностью как • к накоплению механической энергии, так и к рассеиванию ее.
Другой способ характеристики таких материалов состоит в описании их механического поведения при внезапно приложенных к поверхности образца равномерно распределенных усилиях. Термины "внезапно приложенная "нагрузка или "внезапно приложеп-ное"напряженное состояние в данном случае не следует понимать так, что нагружение вызывает скорости, приводящие к деформированию образца в динамических условиях. Упругий материал, будучи подвергнуть такому "внезапно приложенному"нагружению, в дальнейшем остающегося постоянным, мгновенно претерпевает деформации, которые потом остаются неизменными. При внезапном приложении однородного касательного напряжения к ньютоновской вязкой жидкости возникает стационарное течение.
Существуют однако материалы, у которых внезапно приложенное и поддерживаемое неизменным напряженное состояние вызывает мгновенную деформацию, вслед за чем следует процесс течения, которое с ростом времени может быть ограниченным или неограниченным. О материале, который ведет себя подобным образом, говорят, что он проявляет одновременно свойство упругости и ползучести. Такое поведение, очевидно, не описывается ни упругой, ни вязкой моделями, а сочетает в себе черты обеих.
Полезно рассматривать случай, который представляет собой обобщение поведения материала при однократном внезапном изменении приложенных поверхностных сил. Допустим, что материал, обладающий описанными выше свойствами мгновенной упругости и ползучести, подвергается двум не одновременно происходящим изменениям однородного напряженного состояния, которые накладываются одно на другое. После первого приложения напряжения, но перед тем, как наступило второе, поведение материала будет зависеть от времени, а также от величины приложенного вначале напряжения. Рассмо-« трим теперь ситуацию, которая возникает через сколь угодно малый промежуток времени

после внезапного приложения второго напряженного состояния. Поведение материала будет зависеть не только от второго изменения внешних усилий, но и от продолжающегося (зависящего от времени) влияния первого приложенного уровня напряжения.
Заметим, что поведение упругого материала в любой момент времени зависит только от суммарного уровня напряжений. Таким образом, рассматриваемый материал баз се общего типа обладает свойством, которое можно назвать эффектом памяти. При этом поведение материала определяется не только текущим напряженным состоянием, но и всеми прошлыми напряженными состояниями, так что, вообще говоря, материал "запоминает"эти прошлые состояния. Подобная же ситуация возникает, если обратиться к деформациям; в этом случае текущее напряжение зависит от всей истории деформации. По этой причине некоторые авторы вязкоупругость называют наследственной теорией (см.[88]).
Традиционный ход рассуждений приводит к построению определяющих уравнений, содержащих производные от напряжения и деформаций; описание физических процессов с помощью дифференциальных уравнений привычно и общепринято. С другой стороны, в классической механике сплошной среды издавна существуют такие простейшие модели, как модель упругого тела Гука и модель вязкой жидкости Ньютона. Объединяя эти модели, мы естественным образом приходим, например, к следующему гипотетическому определяющему соотношению
а = Ес + Т]ё. (0.0.1)
Здесь а - напряжение, а с - деформация. При Е — 0 - это вязкая жидкость, при т) = 0 -• упругое тело Гука, в общем случае среду, описываемую этим соотношением можно назвать
вязкоупругой.
Соотношении (0.0.1) можно поставить в соответствие материальную модель, которую часто называют моделью Фойгта или Кельвина - Фойгта, а тело поведение которого описывается соотношением (0.0.1) телом Фойгта. Напомним, что [29, 88] тело Фойгта состоит из пружины и амортизатора, которые соединены параллельно. Сила а уравновешивается силой упругости пружины Ес и силой вязкого сопротиаления движению поршня, которое сопровождается протеканием вязкой жидкости через зазор между поршнем и стенками цилиндра.
Математическая модель, включающая в себя как предельные случай модели упругого тела и вязкой жидкости, может быть сконструирована не единственным образом.
Кроме модели Фойгта простейшими моделями вязкоупругих тел являются тело Максвелла и стандартное линейное тело. Описание этих и других вязкоупругих тел а также подробное изложение классической теории линейной и нелинейной вязкоупругости можно найти в монографиях [12, 29, 46, 81, 88], и в работе [80].
Следует подчеркнуть, что система определяющих соотношении в теории вязкоупругости, как и в других феноменологических теориях, характеризирующих физическую систему, описывает только некую абстрактную математическую модель,которая может быть использована для качественной и количественной оценки реальных физических систем с той или иной степенью точности. Вопрос о выборе математической модели для проведения прочностного расчета реального материала решается только из сравнения результатов теоретического исследования с экспериментом.
Следует отметить тот факт, что хотя большинство достижений в теории вязкоупруго-Ф сти относится к последнему времени, теория, сформулированная для линейного изотермического случая, существует уже давно.

Во втором параграфе изложены основные факты линейной теории вязкоупругости.
В третьем параграфе изучается распространение вязкоупругих волн.
В четвертом параграфе сначала рассматривается определяющее соотношение с производными целого порядка
[1+а^И^ = [гп+ьше^'’ 0<т<^' (2-2,8)
Обобщить соотношение (2.2.8) можно путем взвешивания производных при помощи интеграла свертки с данной интегрируемой функцией т(1.). Другими словами соотношение (2.2.8) можно обобщить если сделаем замену
|_>^Л0(*_т)|;В=и,(*)*|. (2.2.9)
Для того, чтобы полученное соотношение имело физический смысл надо на функцию щ(<) наложить некоторые ограничения, например, допустим, что выполняются следующие равенства
рИ'(р)
Го при Р-» 0, ш)
Г 00 при р —> оо, ' '
где №(р) = £{щ(1)} преобразование Лапласа функции ш(().
Возьмем
Ш(<)= Г(Г^)’ (2.2.11)
тогда из (2.2.8) палучим следующее соотношение
[1+а§ра^ = [т+Ь§у]е^’ (2.2.12)
где через обозначено дробная производная в смысле Капуто.
Далее для таких моделей рассматривается комплексный индекс рефракции и функция рассеяния. В конце параграфа дается сравнение экспериментальных данных с теоретическими результатами полученными из (2.2.12).
Статья [222] является еще одной работой, в которой определяющие соотношения вязкоупругости, содержащие дробные производные, получаются прямой заменой производных целого порядка на производные дробного порядка.
В начале своей работы автор вводит понятие тела, промежуточного между твердым телом и жидкостью Ньютона, и записывает определяющее соотношение для этого тела в виде
Т = 0а^, 05$ а <1. (2.2.13)
Здесь Т - напряжение, а е -деформация. Заметим, что (2.2.13) с точностью до обозначений совпадает с (2.1.7).
Производная дробного порядка определяется, как в пункте 2