Моделирование нелинейных волновых процессов в деформируемых средах

• Автор: Штейнберг, Евгений Ильич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Нелинейная динамика деформируемых систем является одним из бурно развивающихся направлений современной математической физики. Значительные успехи, достигнутые на рубеже 70-х годов прошлого века в области аналитических методов решения нелинейных УЧП, позволили эффективно использовать нелинейные теории механики деформируемых тел, которые выявляют и адекватно описывают явления, невозможные в рамках линейного анализа.
Основным эффектом, породившим целое направление современной науки, стал эффект существования устойчивых стационарных импульсов - “солитонов” в нелинейных средах с дисперсией, первые опыты научного наблюдения которых в виде волн на воде восходят еще к середине 19 века. Численные эксперименты, связанные с исследованием солитонов привели Крускала, Забусского и Миуру к созданию нового метода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния и теории солитонов. Будучи решениями нелинейных уравнений и обладая при этом свойствами частиц, солитоны являются воплощением корпускулярно-волнового дуализма.
В настоящее время солитоны обнаружены в средах самой различной природы - от плазмы до деформируемых твердых тел. Экспериментальные подтверждения существования уединенных волн в стержнях даны в работах Дрейдена Г.В., Островского Ю.И., Самсонова А.М., Семеновой И.В., Сокуринской Е.В. (1988) Эксперименты по генерации уединенных волн в пластинах успешно проводились Порубовым
A.B., Самсоновым А.М, Семеновой А.М., Дрейденом Г.В. (1996) Первое экспериментальное наблюдение солитона огибающей изгибной волны в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе Рудника И., By Дж. И., Питермана С. (1987)
Постоянный рост мощности и производительности современной компьютерной техники является значительным подспорьем на пути преодоления трудностей, связанных с применением нелинейных теорий. Даже нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Усовершенствованные модели, учитывающие необходимые в технике реальные факторы, часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. В этой ситуации численное моделирование позволяет убедиться в существовании решения и нащупать пути для построения аналитического метода. Аналитическое и численное решение, верифицируя друг друга,позволяют обеспечить корректность решения поставленной задачи.
История вопроса

Впервые термин “солитон” появился благодаря вычислительному эксперименту, проведенному Ферми, Паста и Уламом в 1953 году, которые сформулировали приводящую к этому понятию проблему. В результате численного эксперимента по динамике нелинейных волн уравнения Кортевега де Вриза Забуски определил солитоны как уединенные волны, выходящие из взаимодействия, не изменяя своей формы и скорости. Несколько ранее Перрингом и Скирме были обнаружены аналогичные эффекты для уравнения синус-Гордона. Аналитически двухсолитонные решения были найдены десятью годами ранее Зеегером и др. В 1971 г. были обнаружены солитоны уравнения Шредингера с кубической нелинейностью (Яджима и Оути).
В результате этих пионерских численных исследований последовал целый каскад важнейших открытий в области нелинейной динамики. Были разработаны Метод Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР), метод Хироты и преобразования Бэклунда. В результате этих успехов возникло представление, что большинство, если не все, ла-гранжевы системы являются вполне интегрируемыми. Однако, эти надежды были развенчаны в 1974 г., когда в Дубне было обнаружено неупругое взаимодействие ленг-мюровских солитонов в плазме, солитонов модифицированных вариантов уравнений Буссинеска, КдВ, Хиггинса и Клейна-Гордона. Оказалось что “малого” изменения уравнения оказывается достаточно, чтобы оно стало неинтегрируемым. В связи с этим возникло понятие “почти интегрируемых” уравнений, для которых своеобразным нулевым приближением могут служить интегрируемые модели. В случае, если такое отклонение возможно выделить в правой части уравнения, с помощью метода последовательных приближений зачастую можно получить решения. Однако, даже в этом случае возможно получить решения, принципиально отличающиеся от соответствующих решений интегрируемых моделей.
В настоящее время численный эксперимент является весьма мощным орудием исследования вопроса интегрируемости систем. В частности, упругое взаимодействие солитонов является важной предпосылкой для положительного ответа на этот вопрос, в то время как обнаружение неупругости обрекает все попытки обнаружить следствия интегрируемости, такие как многосолитонные решения, на неудачу. Однако, представления о “почти интегрируемых” системах помогли обнаружить пульсирующие солитоны - “бионы” в рамках уравнений Клейна-Гордона, Хиггса и синус-Гордона.
Трансформация физической системы, описывающей взаимодействие ленгмю-ровских и ионно-звуковых волн в плазме, от “сильно неинтегрируемой” (при малых скоростях солитоны могут сливаться) вплоть до вполне интегрируемой была впервые прослежена на компьютере.

В результате значительных усилий, приложенных в этой области, одномерные солитоны сейчас относительно хорошо изучены. Обнаружены солитоны с весьма экзотическими свойствами: возвращающиеся “бумероны” (Калоджеро и Дегасперис), расщепляющиеся солитоны (Захаров и Михайлов)
Одним из первых уравнений решения которых были исследованы численно и проявили солитонное поведение, было уравнение КдВ, которое в общей форме выглядит следующим образом:
4“ 11х "Ь (XV. их 4“ 11ххх — б. (1)
При V = 1, 2 это уравнение вполне интегрируемо и его солитоны взаимодействуют упруго. При V = 3 уравнение теряет это свойство и становится “почти интегрируемым”. [1] Легко можно получить солитоноподобные решения (1)
и - | Л || , (2)
2аА‘ +1.
(v Ч- 1)(ь| Ч- 2)
Уравнение (1) описывает очень широкий спектр физических явлений - от волн на воде до волн в плазме и упругих волн в твердых телах. Во многом ему подобно • уравнение Буссинеска (1872 г)
(3? -д1~д£)и- дхи2 = 0. (3)
Действительно, после однократного интегрирования и замены переменных оно приводится к виду:
(dt + дх + д2х)и + дхи2 = const. (4)
Это уравнение при рассмотрении решений с ограниченной энергией совпадает с КдВ поскольку в этом случае const = 0. Уравнение (3) является интегрируемым [2] и для него были получены Хиротой многосолитонные формулы [3].
Также важно упомянуть нелинейное уравнение Шредингера
iut + ихх 4-/3|h|“u = 0. (5)
солитоноподобные решения которого имеют вид, аналогичный солитонам КдВ:
и = Ло exp ji Ч- ^2Ao)t + ^(x~vt) - 0oj |
[l Wr
sechVv | -Vt- Xq)
• (6)

2.5 Генерация конечно-разностных формул
При разработке разностных методов для эволюционных уравнений в частных производных основной упор делается на аппроксимацию операторов пространственного дифференцирования. Вообще говоря, эту проблему можно рассматривать с пяти различных точек зрения. Оператор дифференцирования Б может быть рассмотрен как [95]:
• Аппроксимация (локальная интерполяция). С точки зрения классического анализа, Б есть конечно-разностная аппроксимация оператора дифференцирования.
• Интерполяция. С точки зрения теории интерполяции Б - это точный оператор дифференцирования, примененный к функции, интерполирующей все значения в точках сетки. Такой подход лежит в основе спектральных методов.
• Свертка. С точки зрения теории обработки цифровых сигналов, £) есть цифровой фильтр, коэффициенты которого подобраны таким образом, что он имеет эффект дифференцирования.
• Матричное умножение. С точки зрения линейной алгебры, операция дифференцирования может трактоваться как умножение на бесконечную Топлицев-скую матрицу.
• Произведение в частотной области Наконец, с точки зрения анализа Фурье, дифференцирование есть произведение в частотной области на определенную тригонометрическую функцию частоты.
Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. Каждый из них находит свое применение, приоткрывая отдельные элементы общей картины.
Целью данной секции является построение общего механизма генерации конечно-разностных формул для аппроксимации оператора дифференцирования произвольного порядка с произвольным порядком точности.
Конечно-разностные формулы основаны на локальном представлении функций полиномами низких порядков. Общую идею генерации конечно-разностных формул можно выразить следующим алгоритмом:
1. Интерполяция значений на сетке
2. Дифференцирование интерполирующей функции нужное количество раз