Метод построения лучевых разложений решений краевых задач нелинейной динамической теории упругости

• Автор: Герасименко, Екатерина Андреевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 122 с.

1 Некоторые положения нелинейной теории упругости. Ударные волны
1.1 Элементы геометрии евклидова пространства
1.2 Универсальные модельные соотношения нелинейно-упругой
среды
1.3 Элементы тензорного анализа на поверхности в евклидовом
пространстве
1.4 Кинематика поверхности Е.
Определение операции ^-дифференцирования
1.5 Дельта-производные геометрических характеристик поверхности Е(£)
1.6 Условия на ударных волнах
2 Возможные скорости и типы одномерных цилиндрических ударных волн
2.1 Система уравнений в разрывах на ударной волне
2.2 Скорости возможных ударных волн
3 Лучевой метод решения одномерных задач ударного деформирования
3.1 Цилиндрическая продольная ударная волна
3.2 Сферическая продольная ударная волна
4 Построение приближенных решений за одномерными поперечными ударными волнами
4.1 Одномерная задача антиплоского ударного деформирования

4.2 Скручивающий удар по цилиндрической полости
4.3 Цилиндрическая волна постоянной интенсивности
5 Двумерная задача антиплоского деформирования
5.1 Постановка задачи. Исходные модельные соотношения
5.2 Лучевой метод решения двумерной задачи
5.3 Геометрия ударной волны
Заключение
Список литературы

Явление возникновения поверхностей разрывов скоростей (ударных волн) в твердых телах в процессе их интенсивного деформирования является принципиально нелинейным и должно изучаться на основании нелинейным математических моделей. К последним относится и модель нелинейноупругого материала, которая положена в основу задач, рассматриваемых в данной работе.
Основы теории упругости, как и механики сплошных сред вообще, были заложены в XIX веке и связаны с именами JI. Эйлера, Г. Кирхгофа, О. Коши, Дж. Грина и др. Эти основы изначально нелинейны, но в дальнейшем и до начала прошлого столетия развивался линейный вариант теории упру-гости(Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. Основные направления исследований в то время связаны с разработкой математических методов решения краевых задач. Отметим здесь выдающийся вклад отечественных ученых Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савина,
С.К. Соболева, М.А. Лаврентьева.
Первой фундаментальной работой по нелинейной теории упругости является монография Ф.Д. Мурнагана [124]. Детальная разработка основ нелинейной теории упругости принадлежит В.В. Новожилову [76], Л.И. Седову [89, 90], A.A. Ильюшину [56], В, Прагеру [79], А. Грину и Д. Адкинсу [41], Л.А. Толокопникову [92], Е.М. Черных [100, 101, 102], А.И. Лурье [70], Д.Д. Ивлеву [54, 55], К. Трусделлу [95], Л. Трелоару [94], Г.С. Тарасьеву [91]. Здесь не упомянуты работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов указана в обзоре В.В. Новожилова, Л.А. Толоконникова и К.Ф. Черных [77]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности ле-

нашей задачи
7 2 = тата, ф = 7-1т%.

ди?

(2.1.8)
В дальнейшем будем работать с более удобными физическими проекциями: Тг = Т = Кг] > ^ = ^1 = К,г], = т2 = [и*,г]. (2.1.9)
Тогда скачки частных производных по времени от компонент вектора перемещений перепишутся в виде
Ы = ~СтГ) [йф] = -Єтф, [йг] = -Стг.
(2.1.10)
Воспользовавшись известными формулами для вычисления разрыва от частного и произведения двух функций Го! [а] Ь+ — [Ь} а+
-, [аЬ] = а+ [6] + Ь+ [а] - [а] [&],
(2.1.11)
6+(8+-[6])
соответственно, получим следующие выражения для компонент скорости на Е:
(2.1.12)
Я = щ (і -
[ДИСА-АО [А2]А-[А]А2
г] А (А — [А]) ’ [ф] А (А-[А]) ’
(СД - Ді) ( А] и^г - Атг) _!
"г] = А (А-[А]) * А = /^’

^2 — 'М'ф ^г,г)
[Д] = ^-Гг(1
[Д2] = -(7 (тф (1 - щ,г) -|- тгц^г) + Тфйг - тгйф.
Для большей наглядности формул знак „+“у всех величин, соответствующих деформациям перед Е опущен. Этого соглашения будем придерживаться и в дальнейшем. Закон сохранения импульса на поверхности разрывов (1.6.2) запишем в проекциях на нормаль к Е и касательные векторы к