Метод граничных представлений в задаче Мичелла

• Автор: Горячев, Лев Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 75 с.

Содержание

Введение
1. Формулировка и анализ задачи Мичелла
2. Метод граничных представлений
2.1. Использование теории функций комплексной переменной в
задаче Мичелла
2.2. Формулы граничного представления при отображении области,
занятой упругим телом на единичный круг и полуплоскость в случае плоской деформации
2.3. Формулы граничного представления в случае антиплоской
деформации
2.4. О краевой задаче Римана
3. Примеры решения задач
3.1. Круг овой цилиндр неограниченной длины, подверженный постоянному внешнему давлению (тестовая задача)
3.2. Медленное винтовое движение упругого шероховатого кругового цилиндра
3.3. Медленное винтовое движение упругого шероховатого кругового цилиндра сжатого симметричной системой абсолютно жестких штампов
3.4. Медленное продольное движение упругого клина по направляющей
в упругом полупространстве
4. Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Решение задач линейной теории упругости, несмотря на огромное количество работ в этом направлении, остается важным как для практических целей, так и для развития фундаментальных исследований в области механики деформируемых тел и прикладной математики. Методов построения квадратурных решений для описания напряженно-деформированного состояния (ЕЩС) трехмерного тела в общем случае не построено, так как возникающая математическая проблема очень сложна. Упрощая ее, многим авторам удалось указать пути решения частных задач имеющих практическое значение. Наиболее популярны такие приемы, как использование свойств симметрии и понижение размерности задачи.
Одним из первых в теории упругости исследовал вопрос о понижение размерности Сен-Венан, изучавший задачи о деформации цилиндрических тел (призматических стержней) с торцевыми нагрузками. Принцип, использованный им, позволил путем смягчения граничных условий на торцах тела, указанные трехмерные задачи, в последующем названные его именем, свести к определенным двумерным задачам математической физики. Все исследования в этой области были систематизированы и опубликованы Сен-Венаном в мемуарах «О кручении призм» (1855 г.) и «Об изгибе призм» (1856 г.), в которых был предложен «полуобратный метод» и принцип, названный в последствии «принципом Сен-Венана». Почти через 50 лет после работ Сен-Венана, независимо друг от друга, Мичелл (Michell J.H.) в 1900 г. и Альманси (Almansi Е.) в 1901 г. вернулись к задачам, исследованным Сен-Венаном, но рассмотрели их с более общих позиций. Мичелл усложнил граничные условия задачи Сен-Венана, допуская действие однородной вдоль продольной оси цилиндра (призматического стержня) нагрузки. Альманси исходил из еще более общих предпосылок чем Мичелл, полагая нагрузку на боковой поверхности цилиндра полиномиальной. Мичеллом и Альманси было доказано, что задачу о деформации изотропного
цилиндрического тела при выбранных ими типах нагрузки можно свести к двумерной проблеме (точнее, к последовательности двумерных задач).
Определение понятия «цилиндр», как тела, образованного поступательным движением плоской фигуры по прямой, перпендикулярной плоскости фигуры, позволяет формировать широкий класс трехмерных задач. Многие из этих задач нашли свое отражение и в современных исследованиях по механике деформируемых тел. Наиболее полный обзор трудов по этой тематике можно найти в книге Г.М. Хатиашвили [86]. Он отмечает развитие идей Альманзи и Мичелла в работах Г.Ю. Джанелидзе, Б.Л. Абрамяна, Ю.А. Амензаде, Н.Х. Арутюняна, И.И. Воровича [19, 20], Г.В. Колосова, A.C. Космодамианского [49], Г.А. Кутателадзе, С.Г. Лехницкого, В.В. Новожилова, В.К. Прокопопова, Ю.Н. Работиова, B.C. Саркисяна, В.А. Стеклова, А.Г. Угодчикова, А.Н. Узда-лева, A.JI. Хасиса, ICC. Чабаняна, А. Раду, Е. Шооше и др.
Обзор задач о цилиндрических телах можно найти также в работах
А.И. Каландия [44, 45], А.И. Лурье [55], Г.Ф. Манджавидзе [57, 58], А.Я. Александрова и Ю.И. Соловьева [1], Я.С. Уфлянда [80]. Различные методы решения задач для составных цилиндрических тел изложены в монографиях Г. М. Хатиашвили [86], НИ. Мусхелишвили [60], В.Д. Купрадзе [51, 52] и др.
Сведите задачи Сен-Венана к математической проблеме определения гармонической функции, позволило Н.И. Мусхелишвили [60 - 62] построить для нее строгое решение. Им же построены решения задачи Сен-Венана для брусьев, составленных из различных материалов.
Вопросы существования и единственности решения двумерных задач теории упругости и задач, сводящихся к ним, для составных изотропных и анизотропных тел рассмотрены в работах С.Г. Михлина, Д.И. Шермана, В.Д. Купрадзе [51, 52], М.О. Башелейшвили, Г. Фикера [81] и др.
Решение задач проводилось как методами приближенного, численного анализа (В.Д. Купрадзе, Г.И. Марчук, С.Г. Михлин, В.Л. Рвачев, A.A. Самарский, Е.С. Николаева и др.) так и различными методами построения строгих решений (А.Я. Александров, Ю.И. Соловьев, И.И. Ворович, В.А. Бабешко, B.C.

2.3. Формулы граничного представления в случае антиплоской деформации.
Обобщим сказанное о плоском деформированном состоянии на антиплоскую деформацию (2.12). Система уравнений (1.35), описывающая задачу определения компонент тензора напряжений сг!3, а2Ъ, с учетом (2.13) принимает вид:
££^+£^21 = 0, (2.25.а)
дх ду
СГ,3 •«!+сг23-л2 -Р3(х,у);х, уеГ, (2.25.6)
^2^13 = —0, (2.25.в)
1^п{х,у)+о‘]3(х,у)с/х^у^0;К2{х,у)+сг23{х,у)(к^у = 0;
*? 5 . (2.25.Г)
£ ■* • (^12 (л% у) + °2з (*> у))-У- (С,1 (х, у) + о-,, (х,у)у/хф = 0;
Величины <т135 сг23 как следуег из (2.25.в) - гармонические функции, следовательно, они являются либо действительной, либо мнимой частью некоторых аналигических функций /[ и /2. Пусть у; = ст13 + Мт(/|), а /2 = йе(/2)+/-«т23, тогда:
/ = /1 "Л = (сг1.з(-г,>')-'-сг2з(л-,и))+/(1ш(/1)+/-Ке(/2)) =
= Е(-)+/-(1ш(/1)+/-Яе(/2)) где функция Е(Т) - гармоническая в области ограниченной контуром Г. Кроме того, функция Е(-) - аналитическая; в самом деле, используя условия (СВ), получаем:
~(сг1з)=-“-(п-23)
дх ду
8 8 ’ (127>
Т-(^1з) = — Ы
ду дх
где первое равенство тождественно условию равновесия (2.25.а), а совместное рассмотрение обоих равенств необходимо для выполнения условий (2.25.в). Таким образом, решение антиплоской задачи эквивалентно определению аналитической функции Е(~):
ст, з (г)-1' • СГ23 (г) = Н(г), (2.28)