Вариационная постановка и разработка методов решения задач контактного взаимодействия тел при конечных деформациях

• Автор: Морев, Павел Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 97 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1. Постановка вариационной задачи
1.1 Описание рассматриваемого класса задач
1.2 Постановка контактной задачи в общем виде
1.3 Кинематика и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования
1.4 Вариационный принцип и полная система уравнений
1.5 Учёт изменения локального базиса
1.6 Зависимость поверхности контакта от времени
2Г Пространственно-временная дискретизация
2.1 Пространственная конечноэлементная дискретизация
2.2 Вычисление узловых и интегральных (обобщённых) сил
2.3 Временная дискретизация на основе метода Рунге-Кутта и интегрирование системы разрешающих уравнений
2.4 Программирование и общая стратегия расчёта
2.5 Описание алгоритма
3. Численные примеры
Основные результаты и выводы
Использованная литература

ВВЕДЕНИЕ
Сейчас трудно представить создание новых технологий без разработки адекватных математических моделей и их всестороннего исследования в численных экспериментах. Для технологий, связанных с формоизменением твёрдых тел, конечным этапом этих теоретических исследований является решение соответствующей краевой задачи, которая, как правило, оказывается контактной. Вместе с тем такие задачи - одни из самых сложных краевых задач математической физики. Это обусловлено несколькими причинами.
1)Нелинейность дифференциального оператора краевой задачи налагает ограничения на выбор методов численного решения (в частности, не годятся методы на основе принципа суперпозиции или функций Грина).
2)Сложная, меняющаяся по времени картина участвующих в расчёте тензорных полей заставляет прибегать к сильно неравномерной дискретизации, сгущающейся в областях большого градиента этих полей. Ввиду остаточной пластической деформации, меняющей свойства материала, дискретизацию,приходится измельчать не только в области контакта тел в текущий момент времени, но и вблизи участков поверхности, находившихся в зоне контакта до этого момента. В результате дискретизация может оказаться настолько мелкой, что достижение погрешности в 10% на персональном компьютере за разумное время будет проблематичным уже для 2-мерных задач. - „
3)Граничные условия в контактной задаче нельзя задать явно, поскольку заранее не известны ни формы контактирующих тел, ни поверхности контакта, ни контактные напряжения. Всё это приходится находить в процессе пошагового численного решения с помощью специальных алгоритмов, отслеживающих происходящие в контакте события: касание, отход, прилипание, скольжение и некоторые другие.
Ввиду своей важности и сложности контактные задачи привлекали большое число исследователей как в нашей стране (A.C. Кравчук, B.C. Давыдов, Е.Н. Чу-маченко, Э.Р. Гольник, Н.И. Гундорова, A.A. Успехов и др.), так и за рубежом (G.
Pietrzak, A. Cumier, F. Armero, E. Petoch, P. Alart, M. Barboteu, F. Lebon, D. Bar-lam, E. Zahavi и др.). В результате было разработано немало алгоритмов и пакетов программ (например, [1-7], пакеты ANSYS, NASTRAN, DEFORM). В принципе, они охватывают почти весь диапазон технологических задач, однако на практике получение достоверных результатов для сложных процессов деформирования может оказаться серьёзной проблемой, связанной с подгонкой нескольких параметров, отсутствующих в постановке задачи и влияющих только на вычислительный процесс. Эти параметры могут меняться от задачи к задаче, поэтому их приходится каждый раз подгонять заново. При этом обычным делом является расходимость пошагового расчёта после довольно большого числа шагов, никак не связанная с потерей устойчивости реальной механической системы контактирующих тел. Кроме этого, предлагаемые алгоритмы чрезвычайно сложны, и для своей программной реализации требуют участия как квалифицированных математиков, так и квалифицированных программистов, что может оказаться неприемлемым для исследователей, располагающих небольшим бюджетом.
Таким образом, разработка более экономичных и простых в программировании способов решения остаётся актуальной проблемой. В диссертации предложен новый подход для важного частного случая формоизменения упругопластического тела при контактировании с абсолютно жёсткими телами, превосходящий известные методы решения сразу по нескольким параметрам. Подход использует метод конечных элемента (МКЭ) и позволяет учитывать сложные законы движения и нагружения абсолютно жёстких тел, а так же большие упругопластические деформации. Причём нагрузки могут быть не только распределёнными, но и интегральными (т. е. суммарными) для каждого из абсолютно жёстких тел. Прежде чем перейти к его изложению, остановимся сначала на наиболее популярных существующих методах. Их три: метод штрафных функций, метод множителей Лагранжа и метод множителей Лагранжа с добавками (augmented Lagrangian method). Нет необходимости делать представительный обзор по практической реализации этих методов, поскольку такие обзоры уже существуют — см. [52] и

'JjjiWv (ro-d-o-CT-ö) + w- o- a- w + (V- )o)dV

= Q<5q + fjdvt-(p + p(V-v-n-d-n)) , (1.13)

I#1,0.0)
где последний интеграл в координатной системе £ ,д ,д ) имеет вид
Jj<5Vf (р + p(V v - n d n))dS

JJ & Sj +3,(a)mr +b‘j„in) + SjS-'p-dS;
5(o L
1 < i < 3; 1 < m < 6; 1 < j,l,n < 2. Условия варьирования переменных следующие:
1) Syk = 0 на поверхности Su(t), где 1<к<3;
2) 8Ё,1 = 0 на поверхности Sw(t), где 1 < / < 2;
3) на поверхности Sa(t) вариация скорости скольжения ег 4) Sq - 0, где leb.
Заданными (известными) переменными являются:
1) скорости обобщённых сил Qj(t), где je/;
2) обобщённые скорости qt), где I <=L;
3) скорости yk(t) точек поверхности Su (/), где 1 < к < 3.
Напомним, что распределённые, т. е. неконтактные, нагрузки пока не рассматриваются, чтобы не загромождать формулы. Они будут учтены в главе 3.
Итак, вариационному принципу придана окончательная форма. Отметим две её особенности. Во-первых, одновременно рассматриваются как поля (скорость, напряжение, давление), так и дискретные переменные (обобщённые координаты и обобщённые силы). Во-вторых, обобщённые координаты абсолютно жёсткого тела и обобщённые силы явно входят в постановку задачи, что существенно упрощает программную реализацию метода.